统计思维导图与常用公式

作者: 了不起的树懒 | 来源:发表于2019-01-07 20:11 被阅读0次

统计思维导图与常用公式
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数据的概括性度量

集中趋势的度量
众数（mode）：一组数据中出现次数最多的变量（EXCEL函数：MODE(number1,number2,……）。
中位数（median）：一组数据排序后处于中间位置上的变量，中位数位置=(n+1)/2（EXCEL函数：MEDIAN(number1,number2，……）。
四分位数（quartile）：一组数据排序后处于25%和75%位置上的值， $QL位置=\frac{n}{4}$
, $QU位置=\frac{3n}{4}$ （EXCEL函数：QUARTILE(array,quart))。
平均数（mean）：一组数据相加后处于数据个数得到的结果。
简单平均数（simple mean）： $\overline{x}=\frac{\sum_{i=0}^n x_i}{n}$
加权平均数（weighted mean）： $\overline{x}=\frac{\sum_{i=0}^n M_i f_i}{n}$ （ $M_if_i$ :权重与频数的乘积）
几何平均数（geometric mean）： $G=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i}$ (GEOMEAN(number1,number2,……））
离散趋势的度量
异众比率（variation ration）：值非众数组的频数占总频数的比例。 $V_r=1-\frac{f_m}{\sum f_i}$ ( $\sum f_i$ 为变量值的总频数, $f_m$ 为众数组的频数）
四分位差（quartile deviation）：也称内距或四分位距,它是上四分位分数与下四分位分数之差。 $Q_d=Q_U-Q_L$
方差（variance）：各变量值预期平均数离差平方的平均数。 $s^2=\frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})}{n-1}$
标准差（standard deviation）：方差的平方根。
离散系数（coefficient of variation）：一组数据的标准差与其相应的平均数之比。 $v_s=\frac{s}{\overline{x}}$
偏态与峰态的度量
偏态（skewness）：它是对数据分布对称性的测度。
偏态系数（coefficient of skewness）： $SK=\frac{n\sum(x_i-\overline{x})^3}{(n-1)(n-2)^3}$ , $s_3$ 是样本标准差的三次方。（EXCEL函数：SKEW(number1，number2，……），样本数少于3个或者标准差为0，则返回错误值#DIV/0!）
偏态的强度：1.偏态系数=0，数据的分布是对称的；
2.偏态系数>1或者<-1,高度偏态分布；
3.偏态系数位于[0.5,1]或者[-1,-0.5],中等偏态分布。
偏态的方向判断：1.SK为正值时，正离差值较大，正偏或者右偏；
2.SK为负值时，负离差值较大，负偏或者左偏。

峰态（kurtosis）：它是对数据分布平峰或尖峰程度的测度。
峰态系数（coefficient of kurtosis）： $K=\frac{\sum_{i=1}^k(M_i-\overline{x})^4f_i}{ns^4}-3$ , $s^4$ 是样本标准差的四次方。（EXCEL函数：KUPT(number1，number2，……），样本数少于4个或者标准差为0，则返回错误值#DIV/0!）
峰态的测度：1.K=0,正态分布；
2.K>0,尖峰分布，数据的分布更集中；
3.K<0,扁平分布，数据的分布更分散。

统计量及其抽样分布

中心极限定理（central limit theorem）
设从均值为 $μ$ 、方差为 $σ^2$ （有限）的任意一个总体中抽取样本量为 $n$ 的样本,当 $n$ 充分大时，样本均值 $\overline{x}$ 的抽样分布近似服从均值为 $μ$ 、方差为 $\frac{σ^2}{n}$ 的正态分布。

参数估计

一个总体参数的区间估计

总体均值的区间估计：

不同情况下总体均值的区间估计

总体分布	样本量	σ已知	σ未知
正态分布	大样本（ $n\geq30$ ）	$\overline{x}\pm z_\frac{\alpha}{2} \frac{σ}{\sqrt{n}}$	$\overline{x}\pm z_\frac{\alpha}{2} \frac{s}{\sqrt{n}}$
正态分布	小样本（ $n\leq30$ ）	$\overline{x}\pm z_\frac{\alpha}{2} \frac{σ}{\sqrt{n}}$	$\overline{x}\pm z_\frac{t}{2} \frac{s}{\sqrt{n}}$
非正态分布	大样本（ $n\geq30$ ）	$\overline{x}\pm z_\frac{\alpha}{2} \frac{σ}{\sqrt{n}}$	$\overline{x}\pm z_\frac{\alpha}{2} \frac{s}{\sqrt{n}}$

总体比例的区间估计
比例的区间估计只讨论在大样本的情况下，由样本比例 $p$ 的抽样分布可知，当样本量足够大时，比例 $p$ 的抽样分布可用正态分布近似。
总体比例的置信区间为： $p\pm z_\frac{\alpha}{2} \sqrt{\frac{p(1-p)}{ n }}$
总体方差的区间估计
方差的区间估计只讨论正态总体方差的问题。根据样本方差的抽样分布可知，样本方差服从自由度为n-1的 $\chi^2$ 分布。因此，用 $\chi^2$ 分布构造总体方差的置信区间。
总体方差σ²在1- $\alpha$ 置信水平下的置信区间为：
$\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_\frac{\alpha}{2}}\leq σ^2 \leq \frac{(n-1)s^2}{\chi_\left( 1-\frac{\alpha}{2} \right)}$

两个总体参数的区间估计

两个总体均值之差的区间估计

参数	点估计量（值）	标准误差	（1- $\alpha$ )%的置信区间	假定条件
$u_1-u_2$ 两个总体均值之差	$\overline{x}_1-\overline{x}_2$	$\sqrt{\frac{σ^2_1}{n_1}+\frac{σ^2_2}{n_2}}$	$\left( \overline{x}_1 -\overline{x}_2 \right) \pm z_\frac{\alpha}{ 2} \sqrt{\frac{σ^2_1}{n_1}+\frac{σ^2_2}{n_2}}$	（1）独立大样本 ( $n_1$ ≥30, $n_2$ ≥30) （2） $σ_1$ , $σ_2$ 已知
$u_1-u_2$ 两个总体均值之差	$\overline{x}_1-\overline{x}_2$	$\sqrt{\frac{σ^2_1}{n_1}+\frac{σ^2_2}{n_2}}$	$\left( \overline{x}_1 -\overline{x}_2 \right) \pm z_\frac{\alpha}{ 2} \sqrt{\frac{s^2_1}{n_1}+\frac{s^2_2}{n_2}}$	（1）独立大样本 ( $n_1$ ≥30, $n_2$ ≥30) （2） $σ_1$ , $σ_2$ 未知
$u_1-u_2$ 两个总体均值之差	$\overline{x}_1-\overline{x}_2$	$\sqrt{\frac{σ^2_1}{n_1}+\frac{σ^2_2}{n_2}}$	$\left( \overline{x}_1 -\overline{x}_2 \right) \pm t_\frac{\alpha}{ 2}(n_1+n_2- 2) \sqrt{s_p^2 (\frac{1}{n_1}+\frac{ 1}{n_2})}$	（1）两个正态总体（2）独立小样本 ( $n_1$ ＜30, $n_2$ ＜30) （3） $σ_1$ , $σ_2$ 未知但相等
$u_1-u_2$ 两个总体均值之差	$\overline{x}_1-\overline{x}_2$	$\sqrt{\frac{σ^2_1}{n_1}+\frac{σ^2_2}{n_2}}$	$\left( \overline{x}_1 -\overline{x}_2 \right) \pm t_\frac{\alpha}{ 2} (v)\sqrt{\frac{ s ^2_1}{n_1}+\frac{s^2_2}{n_2}}$	（1）两个正态总体（2）独立小样本 ( $n_1$ ＜30, $n_2$ ＜30) （3） $σ_1$ , $σ_2$ 未知且不相等
$u_d=u_1-u_2$ 两个总体均值之差	$\overline{d}$	$\frac{σ_d}{\sqrt{n}}$	$\overline{d} \pm z_\frac{\alpha}{2} \frac{σ_d}{\sqrt{n}}$	匹配大样本 ( $n_1$ ≥30, $n_2$ ≥30)
$u_d=u_1-u_2$ 两个总体均值之差	$\overline{d}$	$\frac{σ_d}{\sqrt{n}}$	$\overline{d} \pm t_\frac{\alpha}{2} (n-1)\frac{s_d}{\sqrt{n}}$	（1）两个正态总体（2）匹配小样本 ( $n_1$ ＜30, $n_2$ ＜30)

两个总体比例之差的区间估计

参数	点估计量（值）	标准误差	（1- $\alpha$ )%的置信区间	假定条件
$\pi_1-\pi_2$ 两个总体比例之差	$p_1-p_2$	$\sqrt{\frac{\pi_1(1-\pi_1)}{n_1}+\frac{\pi_2(1-\pi_2)}{n_ 2}}$	$(p_1-p_2) \pm z_\frac{\alpha}{2} \sqrt{\frac{\pi_1(1-\pi_1)}{n_1}+\frac{\pi_2(1-\pi_2)}{n_ 2}}$	（1）两个二项总体（2）匹配小样本 ( $n_1p_1≥5,n_1(1-p_1)≥5$ $n_2p_2≥5,n_2(1-p_2)≥5$ )

两个总体方差比的区间估计

参数	点估计量（值）	标准误差	（1- $\alpha$ )%的置信区间	假定条件
$σ_1^2-σ_2^2$ 两个总体方差比	$s_1^2/s_2^2$	（不要求）	$\frac{s_1^2/s_2^2}{F_\frac{\alpha}{2}}\leq\frac{σ_1^2}{σ_2^2}\leq\frac{s_1^2/s_2^2}{F_\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)}$	两个正态总体

样本量的确定

估计总体均值时样本量的确定
由于估计误差 $E=z_\frac{\alpha}{2} \frac{σ}{\sqrt{ n}}$ ,因此可以推断出确认样本量的公式如下：
$n=\frac{(z_\frac{\alpha}{2})^2σ^2}{E^2}$
估计总体比例时样本量的确定
由估计误差 $E=z_\frac{\alpha}{2} \sqrt{\frac{\pi(1-\pi)}{ n}}$ 可以推导出重复抽样或无限总体抽样条件下确认样本量的公式如下：
$n=\frac{(z_\frac{\alpha}{2})^2\pi(1-\pi)}{E^2}$

假设检验

两类错误

项目	没有拒绝 $H_0$	拒绝 $H_0$
$H_0$ 为真	1- $\alpha$ （正确决策）	$\alpha$ (弃真错误)
$H_0$ 为伪	$\beta$ （取伪错误）	$1-\beta$ （正确决策）

假设的检验流程
1.提出原假设 $H_0$ 与备择假设 $H_1$ ;
2.计算统计分布量；
3.将统计分布量与显著性水平比较（如 $z$ 值）：若 $\mid z\mid<\mid z_\frac{\alpha}{2}\mid$ ,不拒绝 $H_0$ ;
若 $\mid z\mid>\mid z_\frac{\alpha}{2}\mid$ ,拒绝 $H_0$ 。
利用P值进行决策
P值反映了观察到的实际数据与原假设之间不一致的概率，可以有效避免以上两类错误。
在事先确认好显著性水平后，如 $\alpha=0.05$ ,则在双侧检验中，P>0.025（ $\frac{\alpha}{2}=0.05$ ）不能拒绝原假设；反之，P<0.025则拒绝原假设；在单侧检验中，P>0.05不能拒绝原假设；P<0.05则拒绝原假设。
单侧检验
左单侧检验称为下限检验，右单侧检验称为上限检验。

一个总体参数的检验
在一个总体参数的检验中，用到的检验统计量主要有三个： $z$ 统计量， $t$ 统计量， $\chi^2$ 统计量。 $z$ 统计量和 $t$ 统计量主要用于均值和比例的检验， $\chi^2$ 统计量则用于方差的检验。

检验参数	条件要素	检验统计量
总体均值 $u_0$ 检验	大样本	$z=\frac{\overline{x}-u_0}{σ/\sqrt{n}}$
总体均值 $u_0$ 检验	小样本（σ已知）	$z=\frac{\overline{x}-u_0}{σ/\sqrt{n}}$
总体均值 $u_0$ 检验	小样本（σ未知）	$t=\frac{\overline{x}-u_0}{s/\sqrt{n}}$
总体比例 $\pi_0$ 检验	大样本	$z=\frac{p-\pi_0}{\sqrt{\frac{\pi_0\left(1- \pi_0 \right)}{n}}}$
总体方差 $σ^2$ 检验	大样本	$\chi^2=\frac{(n-1)^2s^2}{σ^2}$

两个总体参数的检验

检验参数	条件要素	检验统计量
均值之差 $u_1-u_2$ 检验	样本量大 σ²已知或未知	$z=\frac{(\overline{x}_1-\overline{x}_2)-(u_1-u_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{ n_2}}}$
均值之差 $u_1-u_2$ 检验	样本量小 σ²未知,且 $\sigma_1^2=\sigma_2^2$	$t=\frac{(\overline{x}_1-\overline{x}_2)-(u_1-u_2)}{s _p\sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{ n_2}}}$
均值之差 $u_1-u_2$ 检验	样本量小 σ²未知,且 $\sigma_1^2≠\sigma_2^2$	$t=\frac{(\overline{x}_1-\overline{x}_2)-(u_1-u_2)}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{ n_2}}}$
比例之差 $\pi_1-\pi_2$ 检验	服从二项分布	$z=\frac{p_1-p_2}{\sqrt{p(1-p)(\frac{1}{ n_2}+\frac{1}{ n_2})}}$
方差比 $\frac{σ^2_1}{σ^2_2}$ 检验	两个正态总体	$F=\frac{s_1^2/\sigma_1^2}{s_2^2/\sigma_2^2}$

方差分析

单因素方差分析
总平方和（sum of squares for total）： $SST=\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{n_i}(x_{ij}-\overline{\overline{x}})^2$
组间平方和（sum of squares for factor A）: $SSA=\sum_{i=1}^kn_i(x_{i}-\overline{\overline{x}})^2$
组内平方和（sum of squares for error）： $SSE=\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{n_i} (x_{ij}-\overline{x})^2$
$SST=SSA+SSE$
EXCEL方差分析表：

误差来源	平方和SS	自由度df	均方MS	F值
组间（因素影响）	SSA	k-1	MSA	MSA/MSE
组内（误差）	SSE	n-k	MSE
总和	SST	n-1

表格分析：1.若F值>F临界值，则拒绝原假设 $H_0$ ，表明有显著差异；
2.若F值<F临界值，则不拒绝原假设 $H_0$ ，表明没有显著差异；
3.若P< $\alpha$ ,则拒绝 $H_0$ ,若P> $\alpha$ ,则不拒绝 $H_0$ 。

关系强度的度量
反映自变量和因变量的关系程度的大小记为 $R^2$ :
$R^2=\frac{SSA}{SST}$
方差分析中的多重比较
方差分析中的比较值记为LSD：
$LSD=t_\frac{\alpha}{2}\sqrt{MSE(\frac{1}{n_i}+\frac{1}{n_j})}$
如果 $\mid\overline{x}_i-\overline{x}_j\mid>LSD$ ,则拒绝 $H_0$ ，如果 $\mid\overline{x}_i-\overline{x}_j\mid<LSD$ ,则不拒绝 $H_0$ 。

双因素方差分析

无交互作用的双因素方差分析
第一项行因素产生的误差平方和，记为SSR: $SSR=\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{r}(x_{i·}-\overline{\overline{x}})^2$
第二项列因素产生的误差平方和，记为SSC: $SSC=\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{r}(x_{·j}-\overline{\overline{x}})^2$
$SST=SSR+SSC+SSE$
EXCEL方差分析表：

误差来源	平方和SS	自由度df	均方MS	F值
行因素	SSR	k-1	MSR	$F_R$
列因素	SSC	n-k	MSC	$F_C$
误差	SSE	（k-1）*（r-1）	MSE
总和	SST	kr-1

表格分析：
1. $F_R>F_\alpha$ ，拒绝原假设 $H_0$ ,表明行之间有显著差异，反之则不拒绝原假设 $H_0$ ，表明行之间没有明显差异；
2. $F_C>F_\alpha$ ，拒绝原假设 $H_0$ ,表明列之间有显著差异，反之则不拒绝原假设 $H_0$ ，表明列之间没有明显差异；
3.如果P-value< $\alpha$ ，拒绝原假设 $H_0$ ，P-value> $\alpha$ ，不拒绝原假设 $H_0$ 。

关系强度的测度：
$R^2=\frac{SSR+SSC}{SST}$

有交互作用的双因素方差分析
$SST=SSR+SSC+SSRC+SSE$
EXCEL方差分析表：

误差来源	平方和SS	自由度df	均方MS	F值
行因素	SSR	k-1	MSR	$F_R$
列因素	SSC	n-k	MSC	$F_C$
交互作用	SSRC	（k-1）*（r-1）	MSRC	$F_{RC}$
误差	SSE	kr(m-1)	MSE
总和	SST	kr-1

表格分析：
1.行因素的P-value< $\alpha$ ,则拒绝原假设，表明行之间有显著差异，反之，不拒绝原假设，表明行之间没有显著差异；
2.列因素的P-value< $\alpha$ ,则拒绝原假设，表明列之间有显著差异，反之，不拒绝原假设，表明列之间没有显著差异；
3.交互作用的P-value< $\alpha$ ，则拒绝原假设，表明相互作用有显著影响，反之，不拒绝原假设，表明相互作用没有显著影响。

一元线性回归

相关系数（correlation coefficient）：根据样本数据计算的度量两个变量之间线性关系强度的统计量(CORREL(Array1,Array2))。
$r=\frac{n\sum xy-\sum x\sum y}{\sqrt{n\sum {x}^2-\left( \sum x \right) ^2} \times \sqrt{n \sum y^2 - \left( \sum y\right) ^2}}$

EXCEL一元线性回归表：

回归统计
Multiple R	$r$
R Square	$R^2$
Adjusted R Square	$R_a^2$
标准误差	$s_e$
观测值	n

方差分析

	SS	df	MS	F值
回归	SSA	k-1	MSA	MSA/MSE
残差	SSE	n-k	MSE
总计	SST	n-1

	Coefficients	标准误差	t Stat	P-value	Lowe 95%	Upper 95%
Intercept	$\beta_0$
X Variable 1	$\beta_1$

表分析：
1.回归方程： $E(y)=\beta_0+\beta_1x$ ;
2.r=1时，x与y之间为完全正线性相关关系，r=-1时，x与y之间为完全负线性相关关系；r区间为(0,1)时，x与y之间为正线性相关关系，r区间为(-1,0)时，x与y之间为负线性相关关系。
3. $R^2$ 的值表明x与y之间的拟合强度， $R^2$ 的值越接近1，表明x与y相关性越强，拟合性越好。
4.标准误差 $s_e$ 可以用来度量各实际观测点在直线周围散布状况的一个统计量，说明判断结果的误差范围。
5.线性关系检验：若 $F>F_\alpha$ ,拒绝 $H_0$ ,表明两个变量之间的线性关系是显著的；若 $F<F_\alpha$ ,不拒绝 $H_0$ ，没有证据表明两个变量之间的线性关系显著（除此之外，还需要判断P值与 $\alpha$ 之间的大小以确定是否拒绝 $H_0$ ,EXCEL表中的显著性F（Significance F）就是用于检验的P值）。
6.回归系数的检验：t(t Stat)> $t_\frac{\alpha}{2}$ ，拒绝原假设，表明该变量是显著性影响要素（判断P值方法与前面相同）。
7.点估计：代入自变量到回归方程获得相应的因变量。
8.置信区间估计： $y_0\pm t_\frac{\alpha}{2}s_e\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{(x_0-\overline{x})^2}{\sum_{i=1} ^n(x_i -\overline{x})^2}}$
9.预测区间估计： $y_0\pm t_\frac{\alpha}{2}s_e\sqrt{1+ \frac{1}{n}+\frac{(x_0-\overline{x})^2}{\sum_{i=1} ^n(x_i -\overline{x})^2}}$ ，预测区间要比置信区间更宽一些。

多元线性回归

EXCEL多元线性回归表：

回归统计
Multiple R	$r$
R Square	$R^2$
Adjusted R Square	$R_a^2$
标准误差	$s_e$
观测值	n

方差分析

	SS	df	MS	F值
回归	SSA	k-1	MSA	MSA/MSE
残差	SSE	n-k	MSE
总计	SST	n-1

	Coefficients	标准误差	t Stat	P-value	Lowe 95%	Upper 95%
Intercept	$\beta_0$
X Variable 1	$\beta_1$
X Variable 2	$\beta_2$
X Variable 3	$\beta_3$
……	……

表分析：
1.回归方程： $E(y)=\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+\beta_3x_3+……$ ;
2.r=1时，x与y之间为完全正线性相关关系，r=-1时，x与y之间为完全负线性相关关系；r区间为(0,1)时，x与y之间为正线性相关关系，r区间为(-1,0)时，x与y之间为负线性相关关系。
3. $R^2_a$ 为调整多重判定系数，表明x与y之间的拟合强度， $R^2_a$ 的值越接近1，表明x与y相关性越强，拟合性越好。
4.标准误差 $s_e$ 可以用来度量各实际观测点在直线周围散布状况的一个统计量，说明判断结果的误差范围。
5.线性关系检验：若 $F>F_\alpha$ ,拒绝 $H_0$ ,表明两个变量之间的线性关系是显著的；若 $F<F_\alpha$ ,不拒绝 $H_0$ ，没有证据表明两个变量之间的线性关系显著（除此之外，还需要判断P值与 $\alpha$ 之间的大小以确定是否拒绝 $H_0$ ,EXCEL表中的显著性F（Significance F）就是用于检验的P值）。
6.回归系数的检验：t(t Stat)> $t_\frac{\alpha}{2}$ ，拒绝原假设，表明该变量是显著性影响要素（判断P值方法与前面相同）。

指数

简单综合指数： $I_p=\frac{\sum p_1}{\sum p_0}$ , $I_q=\frac{\sum q_1}{\sum q_0}$ , $p$ 代表质量指标， $q$ 代表数量指标； $I_p$ 代表质量指标指数， $I_q$ 代表数量指标指数。
加权综合指数： $I_p=\frac{\sum qp_1}{\sum qp_0}$ , $I_q=\frac{\sum q_1p}{\sum q_0p}$ ，其中 $p，q$ 代表的是权数。
（1）拉氏指数： $I_p=\frac{\sum q_0p_1}{\sum q_0p_0}$ , $I_q=\frac{\sum q_1p_0}{\sum q_0p_0}$ , $I_p$ 代表质量指标指数， $I_q$ 代表数量指标指数， $p_0$ 和 $p_1$ 分别表示基期和报告期的质量指标值； $q_0$ 和 $q_1$ 分别表示基期和报告期的数量指标值
（2）帕氏指数： $I_p=\frac{\sum q_1p_1}{\sum q_1p_0}$ , $I_q=\frac{\sum q_1p_1}{\sum q_0p_1}$

总体指数分析
实际分析中比较常用的是基期权数加权的数量指数（拉氏指数）和报告期权数加权的质量指数（帕氏指数）形成的指数体系，该指数体系可表示为：
$\frac{\sum q_1 p_1}{\sum q_0p_0}=\frac{\sum q_1 p_0}{\sum q_0p_0}\times\frac{\sum q_1 p_1}{\sum q_1p_0}$
因素影响的差额之间的关系为：
$\sum q_1p_1-\sum q_0p_0=(\sum q_1p_0-\sum q_0p_0)+(\sum q_1p_1-\sum q_1p_0)$

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