线性代数笔记21

作者: 大飞哥 | 来源:发表于2019-02-25 21:43 被阅读0次

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特征值特征向量 eigenvalue eigenvectors

什么是特征向量：
给定矩阵A
特定的向量能使 Ax平行于x
即 $Ax=\lambda x$
$\lambda$ 就是特征值

如果A的奇异的，那么 $\lambda=0$ 是特征值

举例：
对于投影矩阵P来讲
任何平面上的向量x，都是P的特征向量，因为都满足 $Px=x$
且特征值为1
任何垂直于平面的向量x ，特征值为0， $Px=0x$

对于矩阵 $A=\begin{bmatrix}0&1\\1&0 \end{bmatrix}$
有特征向量 $x=\begin{bmatrix}1\\1 \end{bmatrix}$
因为 $Ax=\begin{bmatrix}1\\1 \end{bmatrix} =x$ ， $\lambda=1$
有特征向量 $x=\begin{bmatrix}-1\\1 \end{bmatrix}$
因为 $Ax=\begin{bmatrix}1\\-1 \end{bmatrix} =-x$ ， $\lambda=-1$
--

一个事实fact

矩阵所有特征值的和等于矩阵对角线上的和（称为迹）
矩阵所有特征值的积等于行列式

怎么解 $Ax=\lambda x$

重写 $(A-\lambda I) x=0$
则 $(A-\lambda I)$ 必须是奇异的，而奇异矩阵的行列式为0
即 $det(A-\lambda I)=0$
这样先找到 $\lambda$ ，n个值
然后带入一个 $\lambda$ ，则就是求解Ax=0的零空间问题，之前有。

如果已知 $Ax=\lambda x$
则 $(A+3I)x=\lambda x +3x=(\lambda +3)x$

所以根据上面的 $A=\begin{bmatrix}0&1\\1&0 \end{bmatrix}$
可知矩阵 $A=\begin{bmatrix}3&1\\1&3\\ \end{bmatrix}$ 的特征值为4，2

旋转单位矩阵 $Q=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0 \end{bmatrix}$
满足迹的要求 $0=\lambda_1+\lambda_2$
满足行列式的要求 $1=\lambda_1\lambda_2$
而特征值为 $\pm i$
实矩阵可能有复数的特征值

对称的矩阵，特征值是实数
反对称阵，特征值是纯虚的

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