1.1、方程组的几何解释

作者: 骑猪De大宝 | 来源:发表于2019-02-04 17:12 被阅读0次

1.1、方程组的几何解释
方程组的几何解释
方程组的几何解释
MIT-18.06-线性代数（第一讲）
线性代数之——行图像和列图像
lesson 01 方程组的几何解释
线性代数——(2)线性方程组
【MIT】01-方程组的几何解释
第1课方程组的几何解释
矩阵基础4-线性方程组详解

绪论

为了复习线性代数，顺便练习markdown写作，我准备用寒假无聊时间整理了线性代数笔记，仅供参考。

写作平台：简书
参考课程：麻省理工18.06课程：线性代数

方程组的几何解释

一、概述

本讲将讨论线性代数基础：* 求解线性方程组。
首先从方程组开始讲起，它有n个未知数、n个方程，方程数与未知数个数相等，这是最好的情况。然后举例描述“行图像”（row picture），一个“行图像”表示一个方程。接着引出“列图像”（column picture）加以描述，“列图像”是本节重点。行和列组成矩阵（matrix），最后*，我们引入矩阵形式来审视问题。

要点：

n个未知数，n个方程
行图像
列图像
矩阵形式

二、举例1

举例，两个方程、两个未知数。
以
$\left\{ \begin{aligned} 2x-y=0\\ -x+2y=3\\ \end{aligned} \right. \tag1$ 为例。

· 行图像

一次取一行，作图于xy平面。

row picture

· 矩阵形式

$\left[ \begin{matrix} 2 & -1\\ -1 & 2\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 0 \\ 3 \\ \end{matrix} \right]$
即
$Ax=b$

· 列图像

方程（1）可改写为：
$\left[ \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ \end{matrix} \right] x+ \left[ \begin{matrix} -1 \\ 2 \\ \end{matrix} \right] y= \left[ \begin{matrix} 0 \\ 3 \\ \end{matrix} \right]$
现在该方程的目标是如何将向量 $\left[ \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ \end{matrix} \right]$ 与向量 $\left[ \begin{matrix} -1 \\ 2\\ \end{matrix} \right]$ 正确组合，得到向量 $\left[ \begin{matrix} 0 \\ 3 \\ \end{matrix} \right]$ ，这就需要找到这两个列向量正确的“线性组合”。线性组合（linear combination）是贯穿整个课程的基本操作，这里是列向量的线性组合（linear combination of columns）。

（1）

当 $x=1,y=2$ 时，即 $\left[ \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ \end{matrix} \right] 1+ \left[ \begin{matrix} -1 \\ 2 \\ \end{matrix} \right] 2=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 3 \\ \end{matrix} \right]$
列图像如下图所示。

column picture

（2）

现在我们思考一个问题，这两个列向量所有的线性组合是什么？
选取所有的x，所有的y，所有的线性组合，结果会怎样？
结果是会得到任意的右侧向量，两个列向量的组合会布满整个平面。

三、举例2

举例，三个方程、三个未知数。
以
$\left\{ \begin{aligned} 2x-y +0z=0\\ -x+2y-z=-1\\ 0x-3y+4z=4 \\ \end{aligned} \right. \tag2$
为例。

· 行图像

一次取一行，作图于xyz三维空间。每一行的图像为一个平面，三个平面相交于一点，这一点就是方程的解。

row picture

· 矩阵形式

$\left[ \begin{matrix} 2 & -1 & 0\\ -1 & 2 & -1\\ 0 & -3 & 4 \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 0 \\ -1 \\ 4 \\ \end{matrix} \right]$
即 $Ax=b$

· 列图像

方程（2）可改写为
$\left[ \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 0 \\ \end{matrix} \right] x+ \left[ \begin{matrix} -1 \\ 2 \\ -3 \\ \end{matrix} \right] y+ \left[ \begin{matrix} 0 \\ -1 \\ 4 \\ \end{matrix} \right] z= \left[ \begin{matrix} 0 \\ -1 \\ 4 \\ \end{matrix} \right]$

（1）

方程（1）的解为 $x=0,y=0,z=1$ ，列图像如下图所示。

column picture

（2）

现在考虑一个问题，不管右侧向量b是多少，是否都能求解方程？即对于任意b，是否都能求解Ax=b？，是否对于任意b都有相应的解？
用线性组合的术语来说，列向量的线性组合是否能覆盖整个三维空间？
对于这个A来说，答案是肯定的。但另一些矩阵，答案可能是否定的。什么时候会这样呢？（列向量的线性组合无法得到b）。比如，当三个列向量位于同一平面时，其线性组合必定在这个平面上，此时当b在这个平面时方程有解，但更多情况下，b不在这个平面上，方程无解，这种情况称为奇异（sigular），矩阵并非可逆，不是所有的b都有解。

四、矩阵

$Ax=b$
如： $\left[ \begin{matrix} 2 & 5\\ 1 & 3\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ \end{matrix} \right]1+ \left[ \begin{matrix} 5 \\ 3 \\ \end{matrix} \right] 2= \left[ \begin{matrix} 12 \\ 7 \\ \end{matrix} \right]$
$Ax$ 等于系数矩阵A的列向量的线性组合。