浅谈L1和L2正则

1.正则化的作用

在机器学习中，训练模型的目标是不仅要在训练集上表现良好，还要在测试集上表现好，我们称之为泛化。实际过程中可能都会遇到模型在训练上表现差，也就是所谓的欠拟合。也会出现在训练上表现良好，在测试上表现差，即：过拟合。而要在这两者之间寻找平衡，一个常用的方法就是正则化。
正则化的思想：在目标函数中引入额外的信息来惩罚过大的权重参数
我们假设要训练的目标函数为J(θ)，那么在优化时候不是直接优化J(θ)，而是优化J(θ)+λR(W),λ成为正则化系数，λR(W)称为正则项，λ越大表示正则化惩罚越大，通常只对权重做正则惩罚，不对偏置做惩罚

2. L1正则和L2正则

定义：

L1正则：权值向量w中各个元素的绝对值之和，通常表示为 ||𝑤|| 1,对于模型参数w的L1正则化公式为：

L2正则：权值向量w中各个元素的平方和然后再求平方根，通常表示为 ||𝑤|| 2,对于模型参数w的L2正则化公式为：

L1正则（特征选择，稀疏矩阵）

L1正则：相比L2更容易产生系数矩阵，所以在机器学习中更多被用于特征选择机制，对于回归模型，使用L1正则化的模型建叫做Lasso回归

推导：

假设样本是一维的，目标函数L(w)，
加入L1正则后，就变为

加入L2正则后，就变为

设L(w)在w=0处的导数为d0
那么引入L1正则后导数变为：


那么引入L2正则后导数变为：

从上面结果来看，引入L2正则后，目标函数在0处导数依然是d0，引入L1正则后目标函数在0处有一个突变，若d0+λ和d0−λ异号，则在0处会是一个极小值点，优化时候很可能优化到该极小值点上，即w=0处。那么通过L1正则就很容易某个维度的特征系数为0，那么从整个模型来看，这个维度的特征对整体影响不是很大，再选择特征时就可以舍弃。而从矩阵来看，生成一些零元素，那么非零元素就会相对变得更少，以此达到稀疏矩阵的效果。
而在实际调优过程中，我们可以通过缩放λ这个正超参数来控制L1权重衰减的强度从而达到控制特征规模及矩阵的稀疏特性

L1范数约束

再假设现在是二维的数据，那么对于L1正则，我们可以设定|w|<1，则|w1|+|w2|<1，那么对于梯度下降法，求解Jθ的过程可以画出等值线，同时L1正则化的函数也可以在w1w2的二维平面上画出来。如下图：

L1正则化

从图中可以看到Jθ和L1图形相交的地方就是最优解，由于L1的图形在二维情况下有四个突出的角，多维会更多，那么与Jθ相交的概率，而在这些点上，总有权值为0的特征，这里也能分析出为什么L1正则化可以产生稀疏模型，进而可以用于特征选择。同时将w限制在这个L1图形里面，也就是形成了模型的约束区域。

L2正则与过拟合

L2正则化的模型叫做Ridge回归（岭回归）

推导

以线性回归为例：
损失函数为：
迭代公式为：
添加L2正则之后，迭代公式变为$$
可以看到，与未添加L2正则相比，每一次迭代，若w>0，权重w都要先乘以一个小于1的因子，从而导致w不断减小，若w<0，w就会不断增大，整体就是让|w|不断减小，使得模型的参数取得尽可能小的值

L2范数约束

和L1范数约束同理，我们假设现在是二维，设定|w|2<1,则

同样可以画出他们在二维平面的图形

L2正则
二维平面下L2正则化的函数图形是个圆，与方形相比，被磨去了棱角，使得两个图形相交时，各个w的值几乎不会是0，同时也将w的权值约束在L2这个圆形里面。形成L2约束区域，这个区域可以通过正则化系数来控制其范围，当增大系数时，这个约束区域会减小，减小系数时，约束区域会扩大

总结

L1正则化可以产生稀疏权值矩阵，即产生一个稀疏模型，可以用于特征选择，一定程度上，L1也可以防止过拟合
L2正则化可以防止模型过拟合（overfitting）
在实际模型调整中，我们都希望权值尽可能小，然后构造出一个所有权值都比较小的模型，因为一般认为参数值小的模型比较简单，能适应不同的数据集，也在一定程度上避免了过拟合现象。可以设想一下对于一个线性回归方程，若参数很大，那么只要数据偏移一点点，就会对结果造成很大的影响；但如果参数足够小，数据偏移得多一点也不会对结果造成什么影响，专业一点的说法是『抗扰动能力强』
通常正则化项前添加一个系数，由用户指定
有些情况下L1和L2也是可以同时使用的