目标：数据压缩
如果数据特征过多，可能会产生冗余，你也会不太清楚自己到底有哪些特征，需要哪些特征。
数据压缩2D-1D
建立一条线，使每个点都投射到这条线上，然后建立新的特征.
数据压缩3D-2D
将3维数据投影到一个平面上，就得到了二维数据点。然后用一个二维数据来表示。
目标二：数据可视化
多维数据
将多维数据转化为2维数据
多维数据可视化困难，转化成二维数据便于可视化，二维数据的坐标可能没有准确的物理意义
二维数据可视化
主成分分析—PCA
数据降维最常用的方法就是PCA算法：PCA算法建立一个低维平面，如下图红色线，然后将数据点投影在这个平面上，使投影误差最小。在进行PCA算法之前，首先要进行均值归一化和特征规范化，使特征均值为0，且在可比较的范围内。
投影平面的选择
由上图可以看出，红色的线比紫色的线投影误差较小，更适合作为投影平面。
PCA的正规表示
对于2D-1D，相当于找到一个向量，将点投影到该向量上，使得投影误差最小；对于高维数据，相当于找到多个向量。
PCA与线性回归
上面左图是线性回归，右图是PCA，两图计算距离的方式不同：线性回归是计算每个x对应的实际y值与拟合线的距离，因此，在计算距离的时候，距离线的方向是垂直于x轴的，表示同一个x对应的距离差。而PCA计算的是点到线的投影距离，是点到线的最短距离，即正交距离。另一方面，线性回归中是给定x的值预测y,而在PCA中，每一个x值拥有相同的权重。
均值归一化
在数据处理时，首先进行均值归一化：求出所有数据点的均值，再用每一个数据减去均值，得到归一化的样本点，使数据都处于可比较的范围内。
数据投影
在进行降维的时候，要找到合适的一个或多个向量进行投影，那么这些向量是如何得到的呢？
将N-维数据降维k维数据
首先建立一个相关系数矩阵，这里的表示的是相关系数矩阵，他是一个n*n的矩阵，对矩阵进行SVD计算，即奇异值分解，求得一个N*N的矩阵U，则根据需要，取U的前k列向量作为我们的投影向量。
降维计算
得到k个向量以后，转置得到k*n的矩阵，与样本X的N*N的矩阵相乘，得到k*1新的矩阵，则投影完毕。
PCA算法总流程
总的来说，PCA算法如下：先进行特征缩放，然后计算sigma函数求得一个n*n的矩阵；对求出的矩阵进行SVD分解，取前k个向量作为投影向量Ureduce；转置的投影矩阵右乘样本x完成降维。
主成分数量的选择
主成分数量的选择
计算两个指标，Average squared projection error和Total variation in the data，然后根据上述公式计算指标，选择对应最小指标的向量个数k.99%通常表示新形成的特征保留了原有数据99%的信息。指将映射后的数据压缩重现后得到的近似值，压缩重现方法见后文。
K的选择
进行向量数目选择的时候，首先设定一个k值，然后计算指标，然后改变k值在计算一次，选择指标最小的k的数目。在实际计算中有较为简便的方法：SVD分解的时候求得的S是一个对角阵，通过对角阵上的数据计算指标，这样就不用重复设置k值进行计算和比较，只用根据s矩阵进行计算即可。
k选择的流程
先进行SVD分解，然后根据S矩阵计算指标，然后进行选择。
压缩重现
在之前的计算中都是对数据进行压缩降维，那么压缩的数据怎么还原成原来的高维数据呢？
数据压缩重现
PCA的使用建议
监督学习的降维
在有标签的数据中，可以先忽略标签，对样本进行PCA计算，先对样本进行特征缩放和均值归一化处理，然后求sigma函数和SVD分解，找到投影向量，根据投影向量求得新的特征向量。但是PCA这一过程即特征选择必须在训练集上进行，求得的投影向量可以用于验证集和测试集。上例中，我们假设将10000维的数据降到了1000维，这其实是不切实际的，通常降维处理只能将数据维度降维1/5或1/10，保留大部分的方差从而几乎不影响性能，如分类精度和准确度。
PCA的应用
PCA可以压缩数据，从而可以降低数据占据的存储空间，提高学习算法的效率，这一过程通过根据信息保留指标的大小来选择合适的k值来实现，通常指标大小为99%。另一方面，PCA可以帮助实现可视化，将数据讲到2维或3维。
不能用PCA来防止过拟合
PCA算法不能用来防止过拟合！因为PCA在进行降维的时候只考虑到了输入x的信息，而不管对应的标签y,在进行降维时会丢失很多信息。即使其信息保留程度达到了99%，其效果也不会比正则化防止过拟合更好。
PCA的使用误区
PCA在适当的时候使用是很有效的，但是，在建立学习系统之前，不要急着使用PCA，现在原始数据上进行试验，除非你真的确定进行不下去或者计算太复杂，存储空间不够的情况下，在使用PCA，很多情况下直接使用原始数据效果可能更好。
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