前向选择 前向梯度 最小角回归

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1.前向选择算法（Foward Selection）

假设有Y=Xθ,X为m*n的矩阵，Y为m*1的矩阵，我们要找到一个θ，最大程度的拟合输入和输出。

这里把X看成n个m*1的的向量Xi。

第一步：选择和目标Y最为接近的Xi（余弦相似度）,记为Xk。

过Y向Xk向量做投影，投影的长度便作为Xk对应的系数，记为θk。

第二步：定义（残差）Y‘=Y-Xk*θK

若Y‘把所有的自变量都投影完毕，或者Y'为0，结束算法。

否则投影后的Y‘被设为新的目标Y,重复第一步。

　　图示引荐如下：

上图为Y在X1,X2上的分解，对应的θ即为要求解的系数。

2.前向梯度算法（Forward Stagewise）

同前向选择方法不同的一点是，θk的取值是人为设定的，每次θk会有一个初始值设为w，

计算残差Y‘=Y-Xk*w，再根据Y’去找相似度最大的向量Xi。

　　引图如下：

如上图Y沿着x1方向，行走εx1时，就会停下来计算残差，再判断究竟与x1的相似度还是与x2的相似度大，然后继续走下去。

3.最小角回归(Least Angle Regression， LARS)算法

首先，还是找到与因变量Y最接近或者相关度最高的自变量Xk，使用类似于前向梯度算法中的残差计算方法，得到新的目标Y'，此时不用和前向梯度算法一样小步小步的走。而是直接向前走直到出现一个Xt，使得Xt和Y'的相关度和Xk与Yyes的相关度是一样的，此时残差Y'就在Xt和Xk的角平分线方向上，此时我们开始沿着这个残差角平分线走，直到出现第三个特征Xp和Yyes的相关度足够大的时候，即Xp到当前残差Yyes的相关度和θt，θk与Yyes的一样。将其也叫入到Y的逼近特征集合中，并用Y的逼近特征集合的共同角分线，作为新的逼近方向。以此循环，直到Yyes足够的小，或者说所有的变量都已经取完了，算法停止。此时对应的系数θ即为最终结果。

引图如下：