数学家如同画家和诗人一样，是模式的制造者。但数学模式独有的特征，是它们更可能持久，因为它们是由思想制成的。哈代说，“数学家的工作对象不是物质材料，所以他制作的模式持续的时间更久远，因为思想与文字相比，更难消除。”
数学家才能中最核心、最难以替代的特征，很可能就是熟练处理一系列推理的能力。如果一位生物学家研究变形虫的运动过程，然后试图把研究成果运用到不同层次的动物世界中去，最后产生关于人类行走的理论，那我们会认为他的做法太古怪了。然而正如安德鲁·格里森指出的，数学家普遍在做的，正是这样的事情。在非常复杂的情况下，他运用的那些理论，都是从非常简单的理论推导出来的，他一般都认为结果是正确的，而且不是大致上的正确，在细节上也正确。起初，这种延伸的推理行为，也许是从直觉出发的。许多数学家说，远在他们开始进行详细的运算之前，就已经感悟到可能的结论或方向了。当代数学家斯坦斯劳•乌拉姆写道：“如果一个人想取得原创性的成果，靠链条式的系列推理是不够的。在推理过程进行中发挥综述和总结作用的大脑，一旦偶然意识到什么以后，也许就包含着许多同时起作用的部分。”庞加莱说，数学家“在直觉引领下，第一次出击就开始快速的、但有时是不可靠的进攻，就像勇敢的骑兵先锋一样”。但到后来，如果要让别人信服自己的数学方法，还得进行细致的运算，而且其中的定义和系列推理都不应有任何差错。这种阿波罗式的特征，正是数学家的表现。实际上，任何遗漏的错误（忘记了一个步骤），或程序上的错误（做了不必要的假设)，都将毁灭数学成就的价值。
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