利用函数的单调性求最值

作者: 天马无空 | 来源:发表于2020-06-29 21:02 被阅读0次

单调性和奇偶性
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高一数学必修5不等式，求最值问题
导数法求函数的值域

利用函数的单调性求最值

解题步骤：
第一步确定函数的定义域；
第二步求出函数的单调区间；
第三步确定函数的最值.
例已知函数 $f(x)=\dfrac{2}{x-1}$ ，求函数在区间 $[2,4]$ 上的最值.

分析：运用单调性的定义证明，注意取值、作差、变形、定符号和下结论几个步骤；运用单调性的结论，即可得到最值.
（1）证明：任取 $x_1,x_2 \in (1,+\infty)$ ，且 $x_1 < x_2$ ，
则 $f(x_1)-f(x_2)=\dfrac{2}{x_1-1}-\dfrac{2}{x_2-1}=\dfrac{2(x_2-x_1)}{(x_1-1)(x_2-1)}$
由于 $1<x_1<x_2$ ，则 $x_2-x_1>0$ ， $x_1-1>0$ ， $x_2-1>0$ ，
则 $f(x_1)-f(x_2)>0$ ，即 $f(x_1)>f(x_2)$
所以函数 $f(x)$ 在区间 $(1,+\infty)$ 上为减函数.
（2）由（1）可知， $f(x)$ 在区间 $[2,4]$ 上递减，
则 $f(2)$ 最大，最大值为 $2$ ， $f(4)$ 最小，最小值为 $\dfrac{2}{3}$

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