0118数学-微分2

作者: 张老师Klog | 来源:发表于2019-01-18 23:40 被阅读3次

0118数学-微分2
微积分、高等数学、数学分析区分
决战考研138天
0117数学-微分
复
关于微积分理论的学习体会和应用（续1）
3.22备忘
明天微积分，不会啊
用维度思维剖析微分与微商
2017-11-21

点击这里进入人工智能嘚吧嘚目录，观看全部文章

微分derivative

首先回顾微分的概念。
如下图所示，蓝色弧线表示函数y=x³，或写作f(x)=x³。
红色线表示函数弧线上任意点的切线tangent。
黑色水平横线的长度则表示了切线斜率的值（y=kx+m方程中的k值），这里仅示意数值大小。

曲线上某点的导数即是这个点上切线的斜率Δy/Δx。
如何计算某点上导数的数值（即黑色横线的长度）？当然我们可以假设Δx是极小的0.0001，根据x=4和x=4.0001计算得到y值的差，就当做是Δy，然后Δy除以0.0001就可以得出近似值，为什么说是近似值？因为这里的0.0001并不是真的趋近于0的极小值，Δy当然也不对。

要精确计算某点上的导数（斜率），似乎就应使用此点上真正趋近于0的极小值Δx以及对应的Δy，这里的Δx和Δy叫做此点的微分。

微分方程differential equation

无限趋近于0的神秘Δx和Δy永远无法获得，那么是不是就没有可能得到精确的斜率了呢？

当然有办法，由于我们要的并不是Δx和Δy，而是是Δy/Δx，如果我们能从原来的f(x)推导出Δy/Δx的表达式，就可以求出斜率的精确值。

比如对于f(x)=x²的导数可以进行如下推导：

$\frac{dy}{dx}=\frac{f(x)-f(x-Δx)}{Δx}$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{x^2-(x-Δx)^2}{Δx}$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{x^2-x^2+2xΔx-Δx^2}{Δx}$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2x-Δx$
由于Δx是趋近于0的极限值，所以可以直接忽略，得到：
$\frac{dy}{dx}=2x$

也就是
$f'(x)=2x$

这种能够从x直接求出导数f'(x)或者说dy/dx的方程，就叫做微分方程。

可导与不可导differentiable & Non-differentiable

从上面的推导可以看出，并不是所有方程都像f(x)=x²这样可以通过展开然后轻易的去掉Δx从而等号右侧最终获得只关于x的算式。

如果一个函数无法推导出对应的微分方程，那么就说是不可导的。当然有些函数曲线只在x的某个范围内可以找出微分方程，那么就只能说它在这个区间是可导的。

下面是几个常见的导数计算公式：

$f(x)=c \quad \rightarrow \quad f’(x)=0$
$f(x)=x^a \quad \rightarrow \quad f’(x)=ax^{a-1}$
$f(x)=a^x \quad \rightarrow \quad f’(x)=a^xlna$
$f(x)=lnx \quad \rightarrow \quad f’(x)=\frac{1}{x}$
$f(x)=log_ax \quad \rightarrow \quad f’(x)=\frac{1}{x}log_ae=\frac{1}{xlna}$
$f(x)=e^x \quad \rightarrow \quad f’(x)=e^x$
$f(x)=e^-x \quad \rightarrow \quad f’(x)=-e^{-x}$
$f(x)=sin(x) \quad \rightarrow \quad f’(x)=cos(x)$
$f(x)=cos(x) \quad \rightarrow \quad f’(x)=-sin(x)$
$f(x)=ctg(x) \quad \rightarrow \quad f’(x)=sec^2(x)=\frac{1}{cos^2x}$
$f(x)=ctg(x) \quad \rightarrow \quad f’(x)=-csc^2(x)$

导数的四则运算：
$[u(x) + v(x)]’ = u’(x) + v’(x)$
$[u(x) - v(x)]’ = u’(x) - v’(x)$
$[u(x)∗v(x)]′=u′(x)∗v(x)+v′(x)∗u(x)$
$[\frac{u(x)}{v(x)}]'=\frac{u'(x)v(x)-v'(x)u(x)}{v^2(x)}$

点击这里进入人工智能DBD嘚吧嘚目录，观看全部文章

每个人的智能新时代

如果您发现文章错误，请不吝留言指正；
如果您觉得有用，请点喜欢；
如果您觉得很有用，欢迎转载~

END

0118数学-微分2
点击这里进入人工智能嘚吧嘚目录，观看全部文章微分derivative 首先回顾微分的概念。如下图所示，蓝色弧线表...
微积分、高等数学、数学分析区分
微积分微分+积分高等数学微积分+微分方程+无穷级数数学分析高阶版高等数学
决战考研138天
考研倒计时138天数学:2.5小时高数专题部分 1，微分的物理应用 2，微分的几何应用 3，积分的几何应用(求...
0117数学-微分
点击这里进入人工智能嘚吧嘚目录，观看全部文章切线tangent 如何定义一条曲线的切线的？如下图所示，蓝色曲线...
复
高等数学有哪些章节标题？1 函数与极限，导数与微分，微分中值定理与导数的应用，不定积分，定积分，微分方程，向量代数...
关于微积分理论的学习体会和应用（续1）
作者：杨之勇’’ 微分也称为微分法，是分析和计算的一种数学方法；常量数学只能处理静止数学问题，社会生产实践发展到一...
3.22备忘
运动裤！！！高等数学看考研视频！！积分/微分/定积分/不定积分/微分方程等借本高等数学课本或者参考书英语看...
明天微积分，不会啊
微积分（Calculus），数学概念，是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Inte...
用维度思维剖析微分与微商
摘要：“微商，微分之商也。“微分和微商是高数的基本名词，它们的变化构成了高等数学入门的基础内容。因此，深入探究微分...
2017-11-21
计划:这周数学高数级数，常微分完结！上课废话间隙就训练数分，常微分题目。数学就这样了！【从第二章节~第六章节...