SSH model

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今天我主要汇报前段时间学习的一些基础知识，主要分为两个部分：一、通过ssh模型了解拓扑绝缘体的一些基本概念。二、berry phase应用。关于berry phase，我想后续学习更多的例子之后再做一个汇报，这里着重于两个简单的应用（ZAK phase 和 现代极化理论）。我主要参考两本教材：一、《A Short Course on Topological Insulators》（1-3） 二、《Berry Phase in Electronic Structure Theory》（1-4）

Ssh 模型，我这里分了四个部分：体态和边缘态的求解、手征对称性保护的拓扑不变量以及一维存在反演对称性时的ZAK phase，和圈绕数横向对比。
Ssh模型，描述了不考虑相互作用和自旋的电子，在一维晶格上的运动。该链由N个单元格组成，每个单元格由两个位置A和B，电子具有交错的跳跃振幅v和w，并且只能在最近邻的位置之间跳跃。所以每个电子的运动可以由下面的单粒子哈密顿量描述：m单元格中A跳跃到B，m单元格中的B跳跃到m+1处的A，以及它们的共轭项。这里将哈密顿量表示成外部和内部直积的形式，其中内部是2维的希尔伯特空间，可以类比量子力学课程引入自旋后的旋量波函数。取N=4，哈密顿量可以写成下面的矩阵形式，对角线两侧跳跃振幅交替分布。（在这种哈密顿的矩阵形式中，对角项代表on-site能量，非对角项代表不同格点之间的hopping）
一、体态：
当N趋于无穷大的时候，边界对于体态的影响可以忽略，此时我们取周期性边界条件，当电子从最后一个位置跳跃，会回到最初的位置，形成一个圆环。相应的哈密顿量的矩阵形式在对角位置多了一个w参数。 为了方便求解E-K关系，我们变换到动量表象进行求解。两个表象之间相差一个傅里叶变换，前面的系数为箱归一化因子，这里为了方便起见，将单元格之间的距离a取作1。L=Na=N。利用表象变换关系式以及归一化条件，可以将哈密顿量变换到动量表象下，即下面的形式。相应的可以写出动量表象下的能量本征方程。由于离散的平移不变性，布洛赫定理适应，我们取平面波形式的解，对外部自由度取平面波基矢，而内部自由度用两个基矢做展开，a、b为展开系数，即周期性调幅的平面波。把哈密顿量和波函数都带入本征方程，化简可得一个只跟内部自由度有关的方程。

解久期方程，可得E-K关系。下图是取不同的跳跃振幅时，绘制一个布里渊区内的E-K关系曲线。先看两种极端情况，v=0 or w=0,此时电子只能在局域在某个单元格内部，从图像也能得出群速度为零，此时电子不能在链上移动。当v=w的时候，能隙闭合，此时ssh模型描述的是导体，只要很小的能量，电子就可以在链上传播。
对于剩下的两种绝缘体的情形，我们可以用圈绕数进行区分。对于两能级系统，哈密顿量可以用泡利算符展开，对角线为0，dz分量为零。对应不同的跳跃振幅，在x-y平面画出dk的曲线，由于周期性，当k值取遍第一B区时，dk的曲线应是一条封闭的曲线，这里是x-y平面的圆。可以看到，对于两种绝缘体的情形，dk曲线环绕原点的次数不同，可以作为区分二者的标识。圈绕数的具体计算方法可以由以下方法得到：一、化为复数形式，辐角沿曲线做积分后除以2pi给出。二、坐标变换后，用dx和dy表出的圈绕数。化简后的最终形式需要留意一下，后续要与ZAK pahse进行比较。
二、边缘态
Ssh 模型除了体态，还有边缘态。这里我们先定性地分析两种极端情况，v>>w or w>>v,当v>>w的时候，边界部分与体内部分没有什么区别；当w>>v的时候，可以看到两个边界点处可以容纳两个零能量的本征态。我们以N=10为例，固定w=1，让v从0开始取值，绘制E-v关系曲线。当v=0，即w>>v时，有两个零能量的本征态，右图为相应的波函数。随着v的增加，当v>>w的时候，可以预见边缘态与体态没有区别。这与先前的分析一致。
三、区分两种绝缘体的圈绕数，作为拓扑不变量是体哈密顿量具有手征对称性的结果。如果存在幺正算符，使得哈密顿量满足如下关系，我们就称哈密顿量具有手征对称性，对于ssh模型，手征算符是西格玛z。而拓扑不变量是对应于这样一个过程：1、哈密顿量随参数缓慢地连续改变。2、系统重要的对称性保持不变。3、能隙始终保持打开。(a)图，由一种绝缘体态变为另一种绝缘体态，dk曲线需要经过原点，能隙闭合，绝缘体变为导体。(b)图，dz不为零，会破坏手征对称性。
四、最后，我们看一看ZAK 相位与圈绕数的关系。
首先，简单介绍一下贝利相位的概念，根据量子绝热定理，若体系一开始处于哈密顿量H(0)的第n个本征态，经过一段时间的绝热演化，体系仍然处于t时刻哈密顿量H(t)的第n个本征态，而且仅仅增加了一个相位因子。第二个e指数是我们熟悉的动力学相，第一个就是所谓的几何相。它可以由参数空间内的路径积分表示出来，与时间无关。这一部分在格里菲斯的量子力学课本有详细的推导。当周期性系统经过一个周期T的绝热演化回到原来的哈密顿量，哈密顿量在参数空间的演化路径形成一条闭合曲线的时候，无论波函数选取什么样的规范，几何相位都不能被消除，称为贝利相位。显然一维系统是无法形成这样的闭合路径，但是通过分析万尼尔函数的对称性，ZAK发现具有反演对称性的一维系统，在第一布里渊区内累积的贝利相位只能取0或者pi。ssh模型具有反演对称性，那么圈绕数可以用贝利相位除pi表示。为求贝利相位，我们先求它与万尼尔函数的中心的关系。布洛赫波函数是K空间的周期性函数，可以做傅里叶展开，展开系数即万尼尔函数。同理，万尼尔函数是实空间的周期函数，也可以做傅里叶展开，展开系数即布洛赫波函数。当N比较大的时候，求和可变为积分。位置算符作用在万尼尔函数上可以得到下面的表达式。x的平均值，或者称为万尼尔函数的中心，当存在反演对称性时，万尼尔函数的中心总可以取成0或者a/2，相对应的贝利相位为0或者pi。
我们也通过定量的求解，验证了二者之间的联系。