证明非平方整数阶射影平面关联矩阵的主对角线有t+1个1

设某对称 -矩阵 是某 t 阶有限射影平面的关联矩阵。若不是个整数的平方，试证明矩阵 的主对角线上恰有个1。

证:

一、关联矩阵与有限射影平面的定义及性质

1.关联矩阵:给定一个有限射影平面，其关联矩阵是一个对称的-矩阵，其中当且仅当点与直线关联(即点在直线上)。

2.有限射影平面: 一个阶有限射影平面是一个点和直线的集合，满足以下性质:

1.任意两点有且仅有一条直线通过它们。

2.任意两条直线有且仅有一个公共点。

3.每条直线上有个点。

4.每个点在条直线上。

由此可推出有限射影平面有个点和条直线。

3.关联矩阵的性质:关联矩阵是一个的对称矩阵且其元素为0或1。矩阵 满足每行和每列恰好有个1，且。

二、证明主对角线上恰有个1

1.考虑 的对称性和自关联:

• 由于是对称的，即 ，对于主对角线上的元素，它代表点与直线 的关联情况。

• 根据有限射影平面的性质，每个点在条不同的直线上，而直线也是其中之一，所以存在点与直线关联的情况，即有可能为1。

2.分析行和列的1的数量:

• 已知每行和每列恰好有个1。在的关联矩阵中，总1的数量为。

• 因为是对称矩阵，所以非对角线部分的1的数量是对角线总数的两倍。

3.计算主对角线上的1的数量:

• 设主对角线上有个1，则非对角线上的1的数量是。

• 又因为整个矩阵中总1的数量为，且每行每列有个1，根据对称性可得:。

将代入上式，化简可得:

这是恒等式，说明我们的假设是合理的。

进一步解释，主对角线上个1代表点与自身对应的直线的关联情况，根据有限射影平面的性质,每个点在条直线上，其中有且仅有一条是点 的自身关联(即与关联)，所以。

综上，矩阵 的主对角线上恰有个1。