b^2/(a^2+ab)不是整数

作者: 备考999天 | 来源:发表于2022-09-05 19:12 被阅读0次

题 $a,b$ 是正整数，证明： $\frac{b^2}{a^2+ab}$ 不是整数。
证法1 假设 $\frac{b^2}{a^2+ab}=k$ 是正整数，则关于b的二次方程 $b^2-kab-ka^2=0\\$
有正整数解，这说明 $\Delta =k^2a^2+4ka^2$ 是平方数。
由 $a\in \mathbb N_+$ ，故 $k^2+4k$ 是平方数。
另一方面，因 $k^k<k^2+4k<(k+2)^2$ ，故 $k^2+4k=(k+1)^2$ 。
展开移项化简得： $2k=1$ ，这与 $k$ 是正整数矛盾。
所以假设不成立，所以 $\frac{b^2}{a^2+ab}$ 不是整数。

证法2 $\frac{b^2}{a^2+ab} = \frac{(\frac{b}{a})^2}{1+\frac{b}a}=\frac{b}a-1+\frac{1}{1+\frac{b}a}=1+\frac{b}a-2+\frac{1}{1+\frac{b}a}$
假设 $\frac{b^2}{a^2+ab}\\$
是整数，那么 $1+\frac{b}a+\frac{1}{1+\frac{b}a}\\$
是整数，这与以下命题矛盾：
任何一个大于1的有理数，与它的倒数相加不是整数。
写成形式语言就是： $\forall x\in \mathbb Q,x>1,x+\frac{1}x \notin \mathbb Z$ 。
$\blacksquare$