条件概率
先要从条件概率讲起,条件概率,一般记作P(A|B),意思是当B事件发生时,A事件发生的概率。其定义为
其中 意思是A和B共同发生的概率,称为联合概率。也可以写作 P(A,B) 或 P(AB)。
注意,定义中A与B之间不一定有因果或者时间序列关系。
条件概率的这个定义如何理解呢?
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样本空间
回顾一下,样本空间是一个实验或随机试验所有可能结果的集合。例如,抛掷一枚硬币,那么样本空间就是集合{正面,反面}。如果投掷一个骰子,那么样本空间就是 {1,2,3,4,5,6}。样本空间的任何一个子集都被称为一个事件。
所以,当我们通常说某个事件的概率时,其实是默认省略了该事件的样本空间。比如说事件A的概率是P(A),其实是指,在样本空间 Ω 中,事件A的数量占Ω的比率,记作P(A)。比如说骰子掷出3点的概率是1/6,其实是说,在掷骰子所有可能结果的集合中(样本空间)中,出现事件”3点“(子集)的比率是1/6。也就是 size{3} / size{1,2,3,4,5,6} = 1/6。 -
条件意味着缩小的样本空间,是二级概率
通常说概率P(A)是针对样本空间 Ω 来说的,而条件概率中的条件,比如P(A|B),意思是事件B发生的情况下,因此非B的样本空间被这个条件排除掉了,所以这时P(A|B)已经不是针对 样本空间 Ω 了,而是针对缩小的样本空降 B。
结合上图来理解。原来样本空间是 Ω,事件B发生,意味着样本空间缩小到B的范围,即上图黄色椭圆范围内。同时事件A也发生,也就是上图中 A∩B 蓝色部分,蓝色部分对黄色椭圆的占比,就是条件概率 P(A|B)。可以写作
如果考虑到
所以
公式(2)就是通常条件概率的定义。要注意的是,如果用公式(1),就是要穷举事件(集合)"A∩B"和"B"的所有情况。如果用公式(2),要注意P(A∩B)和P(B)都是相对整个样本空间 Ω 来计算其概率P的。
贝叶斯定理
从条件概率出发很容易推导出贝叶斯定理。
公式(5)可以理解为 条件概率的比值 = 先验概率的比值 = 椭圆A / 椭圆B。(先验概率指P(A)和P(B),由于不涉及其它条件,即P(A)与B无关,P(B)与A无关,所以称为先验。条件概率在这里又称为后验概率,因为P(A|B)意味着已知B事件发生之后,P(B|A)意味着已知A事件发生之后)。
公式(6)就是通常贝叶斯定理的形式。
例题
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种子检测
假设100%的不良种子都表现A性状,不良种子占所有种子的比例是十万分之一,所有种子中有1/3表现A性状。问一颗A性状的种子是不良种子的概率是多少?
样本空间:所有种子
事件A:种子表现为A形状
事件Bad:是不良种子
根据已知条件
P(A|Bad) = 1 // 不良种子都表现A性状
P(Bad) = 1/10万 // 不良种子占所有种子的比例是十万分之一
P(A) = 1/3 // 所有种子中有1/3表现A性状
求P(Bad|A) // A性状的种子是不良种子的概率
P(Bad|A) = P(Bad) / P(A) * P(A|Bad) = (1/10万) / (1/3) * 1 = 3/10万
所谓P(Bad|A) ,就是在A的范围内,Bad的占比是多少。对照上面示意图来说,就是 蓝色矩形面积 / 红框部分面积。
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吸毒者检测
假设吸毒者每次检测呈阳性(+)的概率为99%。而不吸毒者每次检测呈阴性(-)的概率为99%。某公司雇员有0.5%的吸毒。问检测阳性(+)时,该雇员吸毒的概率是多少?
样本空间:公司所有雇员
事件+:检测结果阳性
事件D:雇员为吸毒者
事件N:雇员为非吸毒者
根据已知条件
P(+|D) = 0.99 // 吸毒者每次检测呈阳性(+)的概率为99%
不吸毒者每次检测呈阴性(-)的概率为99%,那么检测呈阳性的概率是 1-99%=1%,即
P(+|N) = 0.01
P(D) = 0.005 // 公司雇员有0.5%的吸毒
P(N) = 0.995 // 另外99.5%的雇员不吸毒
求P(D|+) // 检测阳性(+)时,该雇员吸毒的概率是多少
P(D|+) = P(D) / P(+) * P(+|D) (公式7)
其中 P(+) 还需要计算,应用全概率公式,再用贝叶斯公式:
P(+) = P(+∩D) + P(+∩N) = P(+|D) * P(D) + P(+|N) * P(N)
= 0.99 * 0.005 + 0.01 * 0.995 = 0.0149
代入公式得
P(D|+) = P(D) / P(+) * P(+|D) = 0.005 / 0.0149 * 0.99 = 0.3322 = 33.22%
即检测呈阳性时,只有33.22%的概率为吸毒者。
所谓P(D|+) ,就是在检测阳性(+)的范围内,吸毒者D的占比是多少。对照上面示意图来说,就是 蓝色矩形面积 / 红框部分面积。
贝叶斯定理的其它表示
上面吸毒者检测案例中,其实已经得到了贝叶斯公式的另一种表示形式。将P(+)的公式带入公式(7):
P(D|+) = P(D) / P(+) * P(+|D) = P(D) * P(+|D) / ( P(+|D) * P(D) + P(+|N) * P(N) )
将D、+换成常用的符号A、B,即
其中 是A的补集,即"非A"。
在更一般化的情况,假设是事件集合里的部分集合,对于任意的,贝叶斯定理可用下式表示:
上面吸毒者检测可以直接用公式(8)计算。
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