昨天，微信雅典群里讨论一道题目，0.9999······=1。正好两年前写过一篇随笔。
进入大学层次或以上的数学学习，“极限”是一个绕不开而且必须透彻理解的概念。极限的“ε-δ定义”不是柯西给出的，而是数学家魏尔斯特拉斯给出的。在数学史上，虽然牛顿和莱布尼茨各自独立地开创了微积分，但他们两个无法讲清楚什么是极限，因而微积分一直被后世的数学家努力严密，法国数学家柯西和德国的数学家魏尔斯特拉斯对此作出了重要贡献。1821年，柯西关于极限的定义是用文字表达的，虽然比过去前进了一大步，但是遭到了魏尔斯特拉斯的批评，认为依然不够严密。大约在1851年到1853年期间，魏尔斯特拉斯灵感爆发，给出了“ε-δ定义”，使得自牛顿和莱布尼兹以来将近两百年困扰人类的“极限”概念最终达到了数学的严密。如今的科普读物介绍极限，采用的是柯西的文字表述，大学专业数学教科书上的极限定义，就是魏尔斯特拉斯给出的。魏尔斯特拉斯（1815－1897），是柯西以后对极限理论贡献最大的数学家之一。他进入波恩大学时，学的是商业和法律，不过一直在坚持自学数学。1839年经过短暂的数学专业学习后，在明斯特作中学教师，除了教数学、物理外，还教德语、作文、地理。从我们的观念来看，一个中学教师研究世界顶尖级的数学课题是风马牛不相及的，也是不可想像的。可是魏尔斯特拉斯确实一直坚持利用业余时间研究数学，并取得了很多重要的成果，于1864年正式成为柏林大学的教授。 魏氏在教中学期间有一段佳话。一天晚上，他在进行一项重大问题的突破工作，竟然不知道东方已晓，直到校长来他的住所查看他为什么没有按时上课时，他才猛然醒悟，请求校长原谅他缺了课，因为他希望不久这项重大发现将会使学术界震惊。这则佳话上没有说使学术界震惊的重大发现是什么，我猜想就是那个“ε-δ定义”。
图一是柯西，图二是魏尔斯特拉斯。
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