線性代數複習-part3

參考李宏毅老師課程

Subspace(子空間)

定義

• 判斷範例
  

Subspace與Span之關係

Subspace可以看做Span，Span可以看做Subspace。

Null Space

中，若將使的向量都收集起來的集合為null space。

Column Space and Row Space

• 定義
  就是對的所有Column做Span
  就是對的所有Column做Span
  
• 與RREF之關係
  
• 與consistent關係
  存在 中表示有解，下面例題判斷是否有解就知道是否屬於
  

Basis

定義

，讓一個為的非零子空間，如果有一個B(向量集)是A的basis，她必須滿足 (1) B是的linearly independent，(2) B generation

• Col A與Basis關係
  一個matrix A，他的Col A為A的pviot column做Span，因此A的pviot column就是Col A的Basis
  

性質

S包含在Span S中，Basis 永遠包含在他的Subspace中
S'包含在Span S中，Span S'也包含在Span S中
z包含在Span S中，在S加入z，Span S不變

定理

1. 一個Subspace中最小的generation set為Basis
   例如：一個的Subspace，[ [1 0 0]，[0 1 0]，[0 0 1] ]跟[ [1 0 0]，[0 1 0]，[0 0 1]，[1 1 1] ] 跟 [ [4 0 0]，[0 2 0]，[0 0 -3] ]都為generation set，而第一跟第三為Basis
2. 一個Subspace中最大的independent vector set為Basis
   例如：一個的Subspace，[ [1 0 0]，[0 1 0]，[0 0 1] ]跟[ [1 0 0]，[0 1 0] ]，跟 [ [3 0 0]，[0 5 0]，[0 0 9] ]，都為independent vector set，而第一跟第三為Basis
3. 一個Subspace可以有很多basis，但每個basis的vectors的數目是一樣多的，而這個vectors的數目就叫做dimension，subspace稱為V而dimension稱做dim V
   *dim V也可看看做幾個至少需要幾個獨立向量可以Span V
   例如：前兩個例子，一個的Subspace，Basisvectors的數目是一樣多的
   

• 定理3
  The dimension of zero subspace is 0
  

  
  這邊可直接判斷3個向量獨立，若判斷不出可以求這3向量的RREF看有幾個pviot column，是一個，是free variable，eq為dependent，找到的3個向量彼此獨立，可以generation V ，所以找到的3個向量是V的Basis
  另一個Basis 也有相同的 dim V=3

• 定理1
  

  

• 定理2
  

  

• 其他定理
  

  

• 確認vector是Basis
  

  以independent 跟 generation set判斷 以dim V跟independent 判斷 證明 例子 例子

Col A、Null A、Row A

• 3個相關的子空間
  Col A在的co-domain中為range，Col A是獨立column做Span，所以一定包含在m維中(m維向量做線性組合一定不會高於m維)
  Null A(使Ax=0成立的x集合)在的co-domain中為zero vector，使Ax=0成立的x集合必定包含在中，且必定包含一個zero vector(0做任何線性組合都是0)
  Row A等於，所以必定包含在中
  

  域定義

• Col A
  

  Ran含意整理

• Null A
  

  n為mxn的n

• Row A
  

  

• Rank A
  

  

• Dimension 定理
  

  

• 總結