線性代數複習-part5

參考李宏毅老師課程

行列式(Determinant)

高中行列是複習

Cofactor Expansion

就是拿掉矩陣 及 ，計算Determinant等於拿出任一或與cofactor相乘。

• 例子
  計算Determinant。
  

行列式的性質

• 常用性質
  ，det可以看成是高維空間中的體積。
  
  我們交換det的row只能改變det的正負號，不能改變他的絕對值(交換前後絕對值相同)。
  det對每個row而言是"linear"，這裡的linear與先前不同。
  
• invertible相關性質
  
• 其他性質
  

Cramer’s Rule

可以用來求invertible。

Eigenvalues and Eigenvectors(特徵值和特徵向量)

定義

不能是零向量，如果為零向量，就可以等於任何值。

• 例子
  
• 特性
  一個eigenvalue會有好幾個eigenvetor，對應到同一個eigenvalue的vetor不是一個subspace，因為不包含zero vector。
  

如何找到特徵向量（給定特徵值）

，可能的eigenvetor的集合就是eigenspace，eigenvetor等於(不包含zero vector)。

檢查scalar是否是特徵值

將代入，如果是零代表只有求得zero vector，因為在定義上不能為零，所以不是eigenvalue。

尋找特徵值

解的值。
，行列式。
，對角和。

• 例子
  

特徵多項式(Characteristic Polynomial)

我們稱它為特徵多項式(Characteristic Polynomial)，eigenvalue就是它的roots或solution。

• 特性
  A matrix與它的RREF他們的特徵多項式是不同的，表示有不同的eigenvalue。
  兩個matrix如果是Similar matrices()，那麼他們有同樣的特徵多項式以及eigenvalue。
  A shape = ，Characteristic Polynomial它的order為，它的root number一定小於等於。