線性代數複習-part2

參考李宏毅老師課程

矩陣相乘

內積

• 4種方法
  1.最原始的方法
  
  2.矩陣相乘可以看作是column的線性組合
  
  3.矩陣相乘可以看作是rows的線性組合
  
  4.矩陣相乘可以看作是一堆Rank=1矩陣相加。
  
• Block Multiplication
  矩陣可以切成任意區塊然後再相乘。
  

矩陣的性質

矩陣運算量

• 比較矩陣相乘順序
  
• 比較CPU與GPU矩陣運算差異
  

inverse(反矩陣)

定義

若有一個A矩陣與B矩陣，而他們的內積，則他們invertible(可逆)且互為反矩陣，
若要判斷AB是否互為反矩陣只需要相乘後看是否為 I(Identity)

性質

• 若不為正方形矩陣，則不可能為inverse
• 若AB=I且BA=I，則他們不可能有其他inverse，例如AC=I
• 其他性質
  

solve system of linear equations

左:解釋，右:範例

Invertible(可逆)

條件

滿足下列任一個條件為Invertible

• 回故
  ex.
  ex.
  one-to-one：無解或唯一解，onto：總是有解
  同時為one-to-one與onto表示domain與co-domain一樣大

特性

• Invertible同時為one-to-one及into，必定為矩陣，只會有唯一解(線性獨立)
  

  

• 以one-on-one及onto判斷是否為invertible
  Rank=n，矩陣，等於先前提到的Rank = n，Rank = m同時成立。
  

  範例

elementary matrices

• 高斯消去Row的3種運算
  高斯消去Row的3種運算都可以用乘以elementary matrix來執行，注意elementary matrix在前
  
• 如何找到elementary matrices
  例子:找到能交換1、2 row的elementary matrices
• 以elementary matrices得到RREF
  elementary matrix是Invertible(可逆的)
  
• A可以由RREF經過反elementary matrices推回，任何矩陣與Identity相乘都不會有改變，所以A就可以看乘是由相乘而來。
  

求inverse

• 直接列舉解聯立(效率差)
  
• 由elementary matrix求得
  我們知道，而，所以
  
• 解RREF時同時求E，將一個並排在的右側，再求RREF時所做的elementary matrices運算都會同時對做一次，而A運算後最後得到的值若為I表示A存在，運算後最後得到的值，就是所有相乘後的
  
• 例子