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2023-07-16读 数学与生活 之 二-二次方程的求解

2023-07-16读 数学与生活 之 二-二次方程的求解

作者: 思求彼得赵 | 来源:发表于2023-07-15 17:03 被阅读0次

题外话:第一次熟悉了markdown语法的公式编辑功能,并编辑了几个公式,感觉甚好。和latex相似,或本来就是一样的?后续继续熟悉之。


在数学与生活的7.2节 说明了二次方程的根的公式的推导。它由一个实际问题引出,给出了一般的根的公式。进而运用这个公式求解实际问题。

一种化成几何问题的求法。

image.png

一般的二次方程的求法。

image.png
或记为:
x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

用一般结论求解实际问题的例子:

image.png

实际应用的问题:

  1. 出现不合实际的解的问题。即代数之慷慨问题,需注意排除。
    2.待求解的方程需符合标准的方程结构:

ax^2+bx+c=0
比如以下的求法,就需要先变换式子为标准格式:

image.png

至于以下这个内容,则是直接运用了推导根公式的方法求解个例。进而给出根的公式。


image.png

以上,显然有存在非实数根的情况。如:
x^2+2x+2=0
显而易见,可变换为:
(x+1)^2=-1
进而引出,要是\sqrt{-1}存在,那就一切如意啦(p176)
这也正是作者要讲到的虚数的引子。


继续根的公式的话,当b^2-4ac为负时,则求根公式就可以写为:
x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{4ac-b^2}i}{2a}
或:
x_{1,2}=\frac{-b}{2a}\pm\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}i
两个根实部相同,虚数符号相反。是为共轭。把与z共轭的数用\overline{z} 表示.


进而,共轭的特点有哪些呢?

  • 绝对值 与 幅值的关系有:
    \left|z\right|=\left|\overline{z}\right|
    arc\ z=- arc\ \overline{z}

其他运算关系:
\overline{z\pm z^{\prime}}=\overline{z}\pm \overline{z^{\prime}}
\overline{z\cdot \overline{z}}=\overline{z} \cdot \overline{z^\prime}
\overline{(\frac{z^{\prime}}{z})}=\frac{\overline{z^\prime}}{\overline{z}}

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