关于RSA加密

• 生成密钥

  1. 随机选择两个不相等的质数p和q。
     例：61和53。（实际应用中，这两个质数越大，就越难破解。）
  2. 计算p和q的乘积n。
     把61和53相乘：
     　　n = 61×53 = 3233
     n的长度就是密钥长度。3233写成二进制是110010100001，一共有12位，所以这个密钥就是12位。实际应用中，RSA密钥一般是1024位，要求较高的时候则为2048位。
  3. 计算n的欧拉函数φ(n)。
     根据公式：
     　　φ(n) = (p-1)(q-1)
     算出φ(3233)等于60×52，即3120。
  4. 随机选择一个整数e，条件是1< e < φ(n)，且e与φ(n) 互质。
     那么在1到3120之间，随机选择17。（实际应用中，常常选择65537。）
  5. 计算e对于φ(n)的模反元素d。
     所谓"模反元素"就是指有一个整数d，可以使得ed被φ(n)除的余数为1。
     　　ed ≡ 1 (mod φ(n))
     这个式子等价于
     　　ed - 1 = kφ(n)
     于是，找到模反元素d，实质上就是对下面这个二元一次方程求解。
     　　ex + φ(n)y = 1
     已知 e=17, φ(n)=3120，
     　　17x + 3120y = 1
     这个方程可以用"扩展欧几里得算法"求解，此处省略具体过程。总之，爱丽丝算出一组整数解为 (x,y)=(2753,-15)，即 d=2753。
     至此所有计算完成。
  6. 将n和e封装成公钥，n和d封装成私钥。
     在爱丽丝的例子中，n=3233，e=17，d=2753，所以公钥就是 (3233,17)，私钥就是（3233, 2753）。
     实际应用中，公钥和私钥的数据都采用ASN.1格式表达（实例）。

• RSA加密算法的可靠性

回顾上面的密钥生成步骤，一共出现六个数字：p，q，n，φ(n)，e，d
这六个数字之中，公钥用到了两个（n和e），其余四个数字都是不公开的。其中最关键的是d，因为n和d组成了私钥，一旦d泄漏，就等于私钥泄漏。
那么，有无可能在已知n和e的情况下，推导出d？

  1. ed≡1 (mod φ(n))。只有知道e和φ(n)，才能算出d。  
  2. φ(n)=(p-1)(q-1)。只有知道p和q，才能算出φ(n)。
  3. n=pq。只有将n因数分解，才能算出p和q。

结论：如果n可以被因数分解，d就可以算出，也就意味着私钥被破解。
可是，大整数的因数分解，是一件非常困难的事情。目前，除了暴力破解，还没有发现别的有效方法。维基百科这样写道：

"对极大整数做因数分解的难度决定了RSA算法的可靠性。换言之，对一极大整数做因数分解愈困难，RSA算法愈可靠。
　　假如有人找到一种快速因数分解的算法，那么RSA的可靠性就会极度下降。但找到这样的算法的可能性是非常小的。今天只有短的RSA密钥才可能被暴力破解。到2008年为止，世界上还没有任何可靠的攻击RSA算法的方式。
　　只要密钥长度足够长，用RSA加密的信息实际上是不能被解破的。"

事实上，人类已经分解的最大整数大概是232个十进制位，768个二进制位。比它更大的因数分解，还没有被报道过，因此目前被破解的最长RSA密钥就是768位。

• 加密和解密

  1. 使用公钥加密(n,e)
     假设要发送加密信息m，就要用公钥 (n,e) 对m进行加密。这里需要注意，m必须是整数（字符串可以取ascii值或unicode值），且m必须小于n。
     所谓"加密"，就是算出下式的c：
     　　m^e ≡ c (mod n)
     爱丽丝的公钥是 (3233, 17)，鲍勃的m假设是65，那么可以算出下面的等式：
     　　6517 ≡ 2790 (mod 3233)
     于是，c等于2790，鲍勃就把2790发给了爱丽丝。
     （2）解密要用私钥(n,d)
     爱丽丝拿到鲍勃发来的2790以后，就用自己的私钥(3233, 2753) 进行解密。可以证明，下面的等式一定成立：
     　　cd ≡ m (mod n)
     也就是说，c的d次方除以n的余数为m。现在，c等于2790，私钥是(3233, 2753)，那么，爱丽丝算出
     　　2790²⁷⁵³ ≡ 65 (mod 3233)
     因此，爱丽丝知道了鲍勃加密前的原文就是65。
     至此，"加密--解密"的整个过程全部完成。
     我们可以看到，如果不知道d，就没有办法从c求出m。而前面已经说过，要知道d就必须分解n，这是极难做到的，所以RSA算法保证了通信安全。
     你可能会问，公钥(n,e) 只能加密小于n的整数m，那么如果要加密大于n的整数，该怎么办？有两种解决方法：一种是把长信息分割成若干段短消息，每段分别加密；另一种是先选择一种"对称性加密算法"（比如DES），用这种算法的密钥加密信息，再用RSA公钥加密DES密钥。