抛硬币问题一

作者: Yuanzhe_Hao | 来源:发表于2019-04-14 18:27 被阅读0次

题目描述：连续抛掷一枚硬币，如果出现两次正面朝上（两次可以不连续，但最后一次一定要是正面），则停止，求抛掷次数的期望。

正确答案是 $4$ 。
但是，这里的 $4$ 不是简单的从 $2/0.5=4$ 得来的。
假设投掷 $n$ 次硬币后，刚好两次正面朝上。那么可以知道，前 $n-1$ 次抛硬币有一次是正面,概率为 $（n-1)(0.5)^{n-1}$ ，第 $n$ 次是正面，概率为 $0.5$ 。
因此，抛n次硬币出现题干中描述情形的概率为 $（n-1)(0.5)^{n-1}(0.5)=（n-1)(0.5)^{n}$ ，可得n的数学期望为
$\begin{equation} E=\sum_{n=2}^{\infty}(n)(n-1)(0.5)^n \end{equation}$
为了计算 $E$ ，需要借助一个常用的泰勒展开式，按照如下的方式进行变换：
$\begin{equation} \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+\cdots ， \end{equation}$
接下来求两次导数，两端求导，得
$\begin{equation} \frac{1}{{1-x}^2}=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+\cdots ， \end{equation}$
再求导，得
$\begin{equation} \frac{2}{{1-x}^3}=2+(3)(2)x+(4)(3)x^2+(5)(4)x^3+\cdots ， \end{equation}$
当 $x=0.5$ 时，
$\begin{equation} 16=2+(3)(2)(0.5)+(4)(3)(0.5)^2+(5)(4)(0.5)^3+{\cdots} ， \end{equation}$
但是注意这时候右边其实是 $n(n-1)(x)^{n-2}$ ，所以等式两端要同时乘以 $x^2$ ，得到我们一开始的通项公式。
最后结果为 $16*(0.5)^2=4$ 。
最后，假设题目要求不是2次，而是3次，5次，n次，那么增加级数的求导次数就可以了。