抛硬币问题二

作者: Yuanzhe_Hao | 来源:发表于2019-04-16 17:29 被阅读0次

题目描述：连续抛掷一枚硬币，如果连续出现两次正面朝上，则停止，求抛掷次数的期望。

正确答案是 $6$ 。
关于这道题的解法学习了两位前辈的思路，他们在博客上写的很详细。原文链接https://blog.csdn.net/wangran51/article/details/8882088，
https://blog.csdn.net/m0_37786651/article/details/62437291
正确的答案是 $6$ 。
这个问题其实可以上升到一个更加形式化的问题，已知一件事情发生的概率是 $P$ ，连续对这件事情进行很多次实验直到这件事连续发生了 $n$ 次，求需实验次数的期望值。
这道题可以采用程序设计中递归的思想。
假设该事件已经连续发生了 $n-1$ 次，需要的期望为 $E_{n-1}$ 。若想得到第n次正面，那么再进行一次该试验，若得到目标事件，则停止实验，此时概率为 $P$ ；如果没有得到目标事件，那么实验从头开始，此时概率为 $1-P$ ，实验相当于重新开始，需要额外的实验轮次为 $(1-P)E_{n}$ 。因此有如下的递推公式：
$\begin{equation} E_{n}=E_{n-1}+1+P*0+(1-P)E_{n} \end{equation}$
数学归纳法得出通项公式，
$\begin{equation} E_{n}=\frac{1}{P^{n+1}} - \frac{1}{1-P} \end{equation}$
带入 $n=2$ ， $P=\frac{1}{2}$ ，得到 $E=6$ 。