1. 算法复杂度简介
算法复杂度(Algorithm complexity):在问题的输入规模为 n 的条件下,程序的时间使用情况和空间使用情况。
「算法分析」的目的在于改进算法。
正如上文中所提到的那样:算法所追求的就是 所需运行时间更少(时间复杂度更低)、占用内存空间更小(空间复杂度更低)。所以进行「算法分析」,就是从运行时间情况、空间使用情况两方面对算法进行分析。
要比较两个算法的优劣通常有两种方法:
- 事后统计:将两个算法各编写一个可执行程序,交给计算机执行,记录下各自的运行时间和占用存储空间的实际大小,从中挑选出最好的算法。
- 预先估算:在在算法设计出来之后,根据算法中包含的步骤,估算出算法的运行时间和占用空间。比较两个算法的估算值,从中挑选出最好的算法。
大多数情况下,我们会选择第 2 种方式。因为第 1 种方式的工作量实在太大,得不偿失。另外,即便是同一个算法,用不同的语言实现,在不同的计算机上运行,所需要的运行时间都不尽相同。所以我们一般采用预先估算的方法来衡量算法的好坏。
采用预先估算的方式下,编译语言、计算机运行速度都不是我们所考虑的对象。我们只关心随着问题规模 n 扩大时,时间开销、空间开销的增长情况。
这里的 「问题规模 n」 指的是:算法问题输入的数据量大小。对于不同的算法,定义也不相同。
- 排序算法中:n 表示需要排序的元素数量。
- 查找算法中:n 表示查找范围内的元素总数:比如数组大小、二维矩阵大小、字符串长度、二叉树节点数、图的节点数、图的边界点等。
- 二进制计算相关算法中:n 表示二进制的展开宽度。
一般来说,问题的输入规模越接近,相应的计算成本也越接近。而随着问题输入规模的扩大,计算成本也呈上升趋势。
接下来,我们将具体讲解「时间复杂度」和「空间复杂度」。
2. 时间复杂度
2.1 时间复杂度简介
时间复杂度(Time Complexity):在问题的输入规模为 n 的条件下,算法运行所需要花费的时间,可以记作为 T(n)。
我们将 基本操作次数 作为时间复杂度的度量标准。换句话说,时间复杂度跟算法中基本操作次数的数量正相关。
- 基本操作 :算法执行中的每一条语句。每一次基本操作都可在常数时间内完成。
基本操作是一个运行时间不依赖于操作数的操作。
比如两个整数相加的操作,如果两个数的规模不大,运行时间不依赖于整数的位数,则相加操作就可以看做是基本操作。
反之,如果两个数的规模很大,相加操作依赖于两个数的位数,则两个数的相加操作不是一个基本操作,而每一位数的相加操作才是一个基本操作。
下面通过一个具体例子来说明一下如何计算时间复杂度。
def algorithm(n):
fact = 1
for i in range(1, n + 1):
fact *= i
return fact
把上述算法中所有语句的执行次数加起来 ,可以用一个函数 来表达语句的执行次数:。
则时间复杂度的函数可以表示为:。它表示的是随着问题规模 n 的增大,算法执行时间的增长趋势跟 相同。 是一种渐进符号, 称作算法的 渐进时间复杂度(Asymptotic time complexity),简称为 时间复杂度。
所谓「算法执行时间的增长趋势」是一个模糊的概念,通常我们要借助像上边公式中 这样的「渐进符号」来表示时间复杂度。
2.2 渐进符号
「渐进符号」 实际上是专门用来刻画函数的增长速度的。简单来说,渐进符号只保留了 最高阶幂,忽略了一个函数中增长较慢的部分,比如 低阶幂、系数、常量。因为当问题规模变的很大时,这几部分并不能左右增长趋势,所以可以忽略掉。
经常用到的渐进符号有三种: 、、。接下来我们将一一讲解。
2.2.1 渐进紧确界符号
渐进紧确界符号:
对于函数 和 ,。存在正常量 、 和 ,使得对于所有 时,有 。
也就是说,如果函数 ,那么我们能找到两个正数 、,使得 被 和 夹在中间。
例如:,可以找到 ,,,使得对于所有 ,都有 。
2.2.1 渐进上界符号
渐进上界符号:
对于函数 和 ,。存在常量 ,,使得当 时,有 。
符号渐进地给出了一个函数的上界和下界,如果我们只知道一个函数的上界,可以使用 符号。
2.2.1 渐进下界符号
渐进下界符号:
对于函数 和 ,。存在常量 ,,使得当 时,有 。
同样,如果我们只知道函数的下界,可以使用 符号。
$\Theta$、$O$、$\Omega$ 符号的图例2.3 时间复杂度计算
渐进符号可以渐进地描述一个函数的上界、下界,同时也可以描述算法执行时间的增长趋势。
在计算时间复杂度的时候,我们经常使用 渐进上界符号。因为我们关注的通常是算法用时的上界,而不用关心其用时的下界。
那么具体应该如何计算时间复杂度呢?
求解时间复杂度一般分为以下几个步骤:
- 找出算法中的基本操作(基本语句):算法中执行次数最多的语句就是基本语句,通常是最内层循环的循环体部分。
- 计算基本语句执行次数的数量级:只需要计算基本语句执行次数的数量级,即保证函数中的最高次幂正确即可。像最高次幂的系数和低次幂可以忽略。
- 用大 O 表示法表示时间复杂度:将上一步中计算的数量级放入 O 渐进上界符号中。
同时,在求解时间复杂度还要注意一些原则:
- 加法原则:总的时间复杂度等于量级最大的基本语句的时间复杂度。
如果 ,,,则 。
- 乘法原则:循环嵌套代码的复杂度等于嵌套内外基本语句的时间复杂度乘积。
如果 ,,,则 。
下面通过实例来说明如何计算时间复杂度。
2.3.1 常数
一般情况下,只要算法中不存在循环语句、递归语句,其时间复杂度都为 。
只是常数阶时间复杂度的一种表示方式,并不是指只执行了一行代码。只要代码的执行时间不随着问题规模 n 的增大而增长,这样的算法时间复杂度都记为 。
def algorithm(n):
a = 1
b = 2
res = a * b + n
return res
上述代码虽然有 4 行,但时间复杂度也是 ,而不是 。
2.3.2 线性
一般含有非嵌套循环,且单层循环下的语句执行次数为 n 的算法涉及线性时间复杂度。这类算法随着问题规模 n 的增大,对应计算次数呈线性增长。
def algorithm(n):
sum = 0
for i in range(n):
sum += 1
return sum
上述代码中 sum += 1
的执行次数为 n 次,所以这段代码的时间复杂度为 。
2.3.3 平方
一般含有双层嵌套,且每层循环下的语句执行次数为 n 的算法涉及平方时间复杂度。这类算法随着问题规模 n 的增大,对应计算次数呈平方关系增长。
def algorithm(n):
res = 0
for i in range(n):
for j in range(n):
res += 1
return res
上述代码中,res += 1
在两重循环中,根据时间复杂度的乘法原理,这段代码的执行次数为 次,所以其时间复杂度为 。
2.3.4 阶乘
阶乘时间复杂度一般出现在与「全排列」相关的算法中。这类算法随着问题规模 n 的增大,对应计算次数呈阶乘关系增长。
def algorithm(n):
if n <= 0:
return 1
return n * algorithm(n - 1)
上述代码中计算阶乘使用了递归的方法。计算 n
的阶乘时需要先计算出 n - 1
的阶乘,计算 n - 1
的阶乘时,需要计算出 n - 2
的阶乘,以此类推。在计算总的时间复杂度时需要将每一步的基本操作数相乘,即:,这段代码的执行次数为 次,所以其时间复杂度为 。
2.3.5 对数
对数时间复杂度一般出现在「二分查找」、「分治」这种一分为二的算法中。这类算法随着问题规模 n 的增大,对应的计算次数呈对数关系增长。
def algorithm(n):
cnt = 1
while cnt < n:
cnt *= 2
return cnt
上述代码中 cnt = 1
的时间复杂度为 O(1) 可以忽略不算。while 循环体中 cnt
从 1 开始,每循环一次都乘以 2。当大于 n 时循环结束。变量 cnt
的取值是一个等比数列:,根据 ,可以得出这段循环体的执行次数为 。所以这段代码的时间复杂度为 。
2.3.6 线性对数
线性对数一般出现在排序算法中,例如「快速排序」、「归并排序」、「堆排序」等。这类算法随着问题规模 n 的增大,对应的计算次数呈线性对数关系增长。
def algorithm(n):
cnt = 1
res = 0
while cnt < n:
cnt *= 2
for i in range(n):
res += 1
return res
上述代码中外层循环的时间复杂度为 ,内层循环的时间复杂度为 ,且两层循环相互独立,则总体时间复杂度为 。
2.3.7 常见时间复杂度关系
根据从小到大排序,常见的算法复杂度主要有: < < < < < < < < 。
2.4 最佳、最坏、最差时间复杂度
时间复杂度是一个关于输入问题规模 n 的函数。但是因为输入问题的内容不同,习惯将「时间复杂度」分为「最佳」、「最坏」、「平均」三种情况。这三种情况的具体含义如下:
- 最佳时间复杂度:每个输入规模下用时最短的输入对应的时间复杂度。
- 最坏时间复杂度:每个输入规模下用时最长的输入对应的时间复杂度。
- 平均时间复杂度:每个输入规模下所有可能输入对应用时平均值的复杂度(随机输入下期望用时的复杂度)。
我们通过一个例子来分析下最佳、最坏、最差时间复杂度。
def find(nums, val):
pos = -1
for i in range(n):
if nums[i] == val:
pos = i
break
return pos
这段代码要实现的功能是:从一个整数数组 nums
中查找值为 val
的变量出现的位置。如果不考虑 break
语句,根据「2.3 时间复杂度计算」中讲的分析步骤,这个算法的时间复杂度是 ,其中 n 代表数组的长度。
但是如果考虑 break
语句,那么就需要考虑输入的内容了。如果数组中第 1 个元素值就是 val
,那么剩下 n - 1
个数据都不要遍历了,那么时间复杂度就是 ,即最佳时间复杂度为 。如果数组中不存在值为 val
的变量,那么就需要把整个数组遍历一遍,时间复杂度就变成了 ,即最差时间复杂度为 。
这样下来,时间复杂度就不唯一了。怎么办?
我们都知道,最佳时间复杂度和最坏时间复杂度都是极端条件下的时间复杂度,发生的概率其实很小。为了能更好的表示正常情况下的复杂度,所以我们一般采用平均时间复杂度作为时间复杂度的计算方式。
还是刚才的例子,在数组 nums
中查找变量值为 val
的位置,总共有 n + 1
种情况:在数组的 0 ~ n - 1
和 不在数组中。我们将所有情况下,需要执行的语句累加起来,再除以 n + 1
,就可以得到平均需要执行的语句,即:。将公式简化后,得到的平均时间复杂度就是 。
通常只有同一个算法在输入内容不同,不同时间复杂度有量级的差距时,我们才会通过三种时间复杂度表示法来区分。一般情况下,使用其中一种就可以满足需求了。
3. 空间复杂度
3.1 空间复杂度简介
空间复杂度(Space Complexity):在问题的输入规模为 n 的条件下,算法所占用的空间大小,可以记作为 S(n)。一般将 算法的辅助空间 作为衡量空间复杂度的标准。
除了执行时间的长短,算法所需储存空间的多少也是衡量性能的一个重要方面。而在「2. 时间复杂度」中提到的渐进符号,也同样使用于空间复杂度的度量。时间复杂度的函数可以表示为 ,它表示的是随着问题规模 n 的增大,算法所占空间的增长趋势跟 相同。
相比于算法的时间复杂度计算来说,算法的空间复杂度更容易计算,主要包括「局部变量(算法范围内定义的变量)所占用的存储空间」和「系统为实现递归(如果算法是递归的话)所使用的堆栈空间」两个部分。
以两个例子来说明。
3.1 空间复杂度计算
3.1.1 常数 O(1)
def algorithm(n):
a = 1
b = 2
res = a * b + n
return res
上述代码中使用 a
、b
、res
3 个局部变量,其所占空间大小并不会随着问题规模 n 的在增大而增大,所以该算法的空间复杂度为 。
3.1.2 线性 O(n)
def algorithm(n):
if n <= 0:
return 1
return n * algorithm(n - 1)
上述代码采用了递归调用的方式。每次递归调用都占用了 1 个栈帧空间,总共调用了 n 次,所以该算法的空间复杂度为 。
3.1.3 常见空间复杂度关系
根据从小到大排序,常见的算法复杂度主要有: < < < < 等。
算法复杂度总结
「算法复杂度」 包括 「时间复杂度」 和 「空间复杂度」,用来分析算法执行效率与输入问题规模 n 的增长关系。通常采用 「渐进符号」 的形式来表示「算法复杂度」。
常见的时间复杂度有:、、、、、、、。
常见的空间复杂度有:、、、。
参考资料
- 【书籍】数据结构(C++ 语言版)- 邓俊辉 著
- 【书籍】算法导论 第三版(中文版)- 殷建平等 译
- 【书籍】算法艺术与信息学竞赛 - 刘汝佳、黄亮 著
- 【书籍】数据结构(C 语言版)- 严蔚敏 著
- 【书籍】趣学算法 - 陈小玉 著
- 【文章】复杂度分析 - 数据结构与算法之美 王争
- 【文章】算法复杂度(时间复杂度+空间复杂度)
- 【文章】算法基础 - 复杂度 - OI Wiki
- 【文章】
图解算法数据结构 - 算法复杂度 - LeetBook - 力扣
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