还记得刚开始看到数学空间提法的时候。作为一个体育迷和运动爱好者脑袋里面浮现的就是排球场和田径场，再进一步就是三维坐标构成的现实空间，但是为什么数学上又会有抽象空间，很长一段时间都未明白。后来学了群、环、域抽象代数结构后再反过来才逐渐理解了抽象空间。对一个抽象系统赋予一个看得见、摸得着的现实系统进行类比才更容易让人理解，鉴于这是一个如此重要又是许多人都没有明白的概念，完全按照自己理解做了一个梳理。
一、排球运动和向量空间有趣类比
还是从美好的体育开始吧，空荡的排球场和田径场太没意思了，需要咋们的婷婷在2、4号位的边攻和后三的落地开花，博尔特百米跑道的黑色闪电，这样才有意义吧。好的，抽象一下这个有意思场景，首先，有一个 场所——排球场、跑道；然后，需要有 对象——朱婷、Bolt 这样明星，当然，构成球场、跑道的最基本元素，可以看成是实物原子这样的“点”，也是对象；还要有 运动——发、扣、拦、垫、传，跑、跳，当然，必须要有 规则——后攻不能踩三米线。好的，空间可以理解为 能容纳〖对象〗在一定〖规则〗下进行〖运动〗的〖场所〗。下面先以我们多数人第一次接触的空间/抽象结构——线性/向量空间为例来分析。
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所有普通意义上的平面向量组成了一个空间，记作ℝ²，因为每个向量都可以表示为两个实数构成的有序数组 ( x , y )，这个数组也可以理解为一个“点”，〖点〗构成了〖场所〗，这个点也就是集合中的元素（现代数学研究的都是定义了不同有趣关系集合的运算，即结构）。ℝ²满足向量空间的所有公理。实际上，向量空间是ℝ²的推广（顺便说一下，“域” 是实数加减乘除四则运算的推广）。
二、通过增加结构由简单空间向复杂空间递进
可以看到，线性空间中只是对象之间运动关系的描述，如同我们还想了解朱婷的扣球高度，袁心玥的奥运会上每一场拦网得分一样，就需要加入其他标准，比如加入对向量长度、向量间夹角计量等。在线性空间中就是加入其他 “结构”（运算规则）进行限制，然后可以得到其他空间，得到更多的有趣结论。
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以上是部分“空间”的一个关系总结，还有许多其他“空间”。其中拓扑空间在他们的开集构成子空间中，甚至没有〖点〗，但是定义了〖运算法制〗。也就是说空间没有地方，是“空”的，但是有规则，这让人不由想起了 C# 语言中的抽象类，只有方法在其中，代人实例后就可以利用这个方法。那在这种特殊的没有点（元素）的空间中，当然可以只有运算规则（函数、关系、方法）定义了空间具有的结构，然后有点（元素）进来后运用这个规则就OK了。
作为数学三大分支之一的代数 (另外两个是分析和拓扑)，拓扑也主要是研究拓扑空间中流形性质。通过定义空间以及在空间中对象的性质和运动方式，能够一次解决大量问题，这就是数学中常用的两种方法，抽象和拓展外推体现的巨大威力。数学从某种意义上也是一种分类，在不同的“空间”中，不管你是什么元素（点）、对象，在同一个空间中它们都具有一样的运动性质，一下就让许多不同领域问题都一起解决，是一种分类，同态、同构将不同集合“等同”起来，也是一种分类。这远远优于一次解决一个问题的方法，这就是当代数学之所以越来越抽象、但是使用范围却越来越广的原因。
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