抽象代数的学习内容主要分三大块：群、环、域。然后呢，我现在只学了这一点点、

群

1. 什么是群？——对于一个集合，定义一种运算，这个集合关于这种运算有一些好性质，那么就称这个集合关于这种运算做成群。

   • 群的定义是什么？
   • 群的性质是什么？
   • 群的例子有哪些？

2. 如果说群是一个国家，那么群中的元素就是这个国家的人。但是和现实生活中人和人的异质性不同，群中的元素（可能）存在规律性，或者说“某种结构”。怎么去研究这些分散的个体呢？那就涉及到元素的阶的概念。

   • 元素的阶的定义是什么？
   • 元素的阶的性质是什么？/除了利用定义，怎么计算元素的阶？

   既然提到人，我们可能会顺便问问这个国家的人口是多少。对于群，也就是这个群的阶是多少。

   • 什么是群的阶？

3. 人。。不会单独存在，总是喜欢抱团取暖。所以说一个国家的公民，会组成社群/团体。群中的元素当然也会了，对于一些有特别性质的“元素的小团体”，它们就构成了这个群的子群。

   • 子群的定义是什么？
   • 子群的性质是什么？

   任何人都可以和任何人在一起搞小团体。但是只有满足一些条件的团体才会被称为比如政党、宗教、社团。任何元素和任何元素都可以搞小团体，也就是形成子集，但只有满足一些条件的子集才会被称为子群。那么除了定义以外，怎么判断一个子集是不是子群？

   • 子集是群iff...?

   假设我的男票和他的直男兄弟搞了一个小团体。他们有着宏伟的从政意愿，具体来说就是建立一个“当爸爸党”。但是，该群体并不符合成为合法党派的条件。怎么办呢？当然是找一个国务的人帮忙搞定，比如起草党派宪章等等。所以，虽然这个小团体本身不是政党，但是他们可以（通过某位成员找一个国务女友）生成一个政党。同理，一个子集，它自己不是子群，也可以生成子群。

   • 什么叫做子集生成子群？
   • 由一个子集生成的子群包含哪些元素？（这些元素和子集的元素有什么关系？）

   有的党派呢，人数很少，这就导致它们在投票的时候很尴尬。于是，有的小党就会考虑联合起来。对于子群来说，就是子群之间是可以运算的。

   • 子群有哪些运算？运算律有哪些？

   结果小党联合的时候条件没谈妥，干脆两党都解散了。对于子群来说，子群经过运算（也就是子群的积），未必还是子群。

   • 子群的积是子群iff...?

   小党联合——如果成功的话，很有可能会开掉一些职能重复的人。这就导致，我们也会考虑子群的积的阶是多少。

   • 积集公式

   对于一个国家的诸政党，并不是每个党都同样“重要”，比如相对当爸爸党这种野鸡党派，显然还是很有机会成为执政党派的大党更值得研究。所以，我们也有一些子群，是千千万万个子群中特殊而重要的。

   • 正规子群
   • ……

4. 好的，现在我们对这个国家、每个公民、公民团体——甚至党派，都有了一些认识。可是，怎么管理国家呢？从古代的分封而治，到现代的省、州划分，无不启示着我们对群，也进行“划分”。所谓群的划分，简单来说把群写成一堆集合的无交并。比如把国家分成几个州，那这几个州应该互不相交，但是又完全cover了整个国家。

   • 群的划分的定义是什么？

   群的划分和等价关系、等价类以及商集的概念是密切相关的，或者说本质上这三组名字在说的都是一件事。所以这里一并介绍：

   • 什么是等价关系和等价类？
   • 等价关系&等价类和群的划分的关系是什么？（一一对应）
   • 什么是商集？
   • 商集和群的划分/等价类的关系是什么？

5. fine，言归正传。我们已经知道把国家分成一些省/州，是很好的治理办法。那么，我们是依据什么这样划分的呢？可能是地域，可能是文化。对于群来说，就是等价关系：定义一种等价关系，把彼此有关系的元素放到一起构成等价类，不同的等价类之间是两两无交的，所有的等价类并起来又cover了整个群。

6. 现在，我们定义这样一种等价关系：H是G的子群，对于元素，如果，那么就称有关系～，记做.
   然后，按照5. 的思路，我们便可以写出这中关系的等价类：的等价类记做, 则 { } , 变型一下就是 = aH. 我们把aH称为H在G中的左陪集。同理，可以定义右陪集。
   总之呢，陪集就是上述这个特殊的等价关系的等价类。并且按照4.和5.的知识，我们很容易明白不同的陪集是两两无交的，所有的陪集并起来又cover了整个群。
   所以我们可以get到下面两件事：

   1. 上述这个等价关系对应的商集的元素就是这些陪集。
   2. 求群G的阶数，就是sum每个陪集的阶数。一如国家的人口=sum每个省/州的人口。
   • 拉格朗日定理

7. 显然，对于一个国家，可以有很多种划分方法。但是！并不是每种划分都是被承认的——准确地说，其实只有一种划分方法被承认，只有一种划分方法是合法的。如果A州和B州相邻，而两州州长对于州界限有不同的划分方式的话，那么他们甚至要打仗。所以，虽然我们可以搞出许许多多的商集，但是，只有一种（些）商集，是非常“尊贵”的。这种商集是什么呢？——还记得一开始说的“群是一个关于定义于其上的运算有好性质的集合（及其运算）”吗？——这种商集，自然就是可以关于定义于其上的运算有好性质的集合，也就是商群。
   为了get商群的概念，我们先定义商集的元素的“运算”。不过，其实这种“运算”与其说是“定义”的，不如说是你很自然、很符合直觉地就会这么想的。

   • 令G是群，H是G的子群，商集G/H = {aH | a 代表元系}，则G/H中的这种“运算”是：aH*bH = (ab)H

   上一段中的“运算”二字通通加了引号。这是因为由于这种“运算”是等价类之间的乘法，我们必须得考虑它是不是well-defined。如果是well-defined，才可以去掉引号，让它脱胎换骨成真正的运算。

   什么样的等价类之间的乘法算是well-defined？我们知道，同一个等价类的元素们，彼此之间都有那种关系。所以在表示这个类的时候，取哪个元素当代表元都可以，表示的都是一个类。所以，如果用a和a‘表示第一个等价类，b和b’表示第二个等价类，要是这种乘法well-defined，ab和a‘b'应该相等。

   什么时候这种乘法是well-defined？

   • 令G是群，H是G的子群，商集G/H = {aH | a 代表元系}，则G/H中的乘法（aH*bH = (ab)H）well-defined iff H 是G的正规子群。

   （还记得前面说的野鸡当爸爸党不足挂齿，不如研究大党，从而我们研究了一些重要的子群，其中就有正规子群吗？）

   好的，显然不well-defined的乘法没什么好再研究的了，因为你压根不是乘法啊！所以现在我们把H取成G的正规子群。此时我们不禁想问，G/H关于此乘法，成群吗？——答案是肯定的！

   没有正规子群，就没有商群。如果说商集是一盘散沙的乌合之众（没有乘法运算），那么商群就是在正规子群带领下的、紧密团结、通力合作、有组织有纪律的群体。只有一种合法的洲界，恰如只有“唯一”（好吧只是比较特殊、比较少）的商群。因此，商群可以被合法地称为 United States （既然aH就像states），而正规子群，就是United States的执政党，而且是……党国同构的！（🈚️隐喻嘿嘿嘿嘿）