第 8 章隐函数求导和相关变化率

作者: 熊文鑫 | 来源:发表于2019-12-03 13:17 被阅读0次

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Title:第 8 章隐函数求导和相关变化率

本章重点：
1.隐函数求导
2.相关变化率

8.1 隐函数求导

$\frac{d}{dx}(y^2)=\frac{du}{dx}=\frac{du}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=2y\frac{dy}{dx}$

例子：求 $5sin(x)+3sec(y)=y-x^2+3$ 的切线方程。
即求出 $\frac{dy}{dx}$
1.将方程两边都对dx 求导得：
$\begin{align} 5cos(x)-3sec(y)tan(y)\frac{dy}{dx}&=\frac{dy}{dx}-2x \\ (1+3sec(y)tan(y))\frac{dy}{dx}&=2x+5cos(x) \\ \frac{dy}{dx}&=\frac{2x+5cos(x)}{1+3sec(y)tan(y)} \end{align}$

matlab对隐函数求导：
%对隐函数求导
syms x y
f=y-x^2
fx=diff(f,x)
fy=diff(f,y)
dydx=-fx/fy

8.1.2 隐函数求二阶导

8.2 相关变化率

如果 Q 是某个量, 那么 Q 的变化率是 $\frac{dQ}{dt}$

假设我们知道其中一个量变化有多快, 那么另一个量的变化有多快呢？这就是我们所说相关变化率

例子：
求 $\frac{d\theta}{dt}$

$h=2000-10t , tan(\alpha)=\frac{2000}{p},tan(\beta)=\frac{h}{100} ,\theta=\beta-\alpha$

得出：这几个方程的关于 $\frac{d\theta}{dt}$ 的方程组
$\begin{align} \frac{dh}{dt}&=-10;\\ sec^2(\alpha)\cdot \frac{d\alpha}{dt}&=-\frac{2000}{p^2}\cdot \frac{dp}{dt};\\ sec^2(\beta)\cdot \frac{d\beta}{dt}&=-\frac{1}{100}\cdot \frac{dh}{dt};\\ \frac{d\theta}{dt}&=\frac{d\beta}{dt}-\frac{d\alpha}{dt} \end{align}$

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