群的概念

作者: 抄书侠 | 来源:发表于2019-02-01 20:34 被阅读0次

1.1.8设 $V$ 是数域上的线性空间，证明 $V$ 上有一组基。
1.2.5举出一个半群的例子，它不是含幺半群；再举一个含幺半群的例子，它不是群。
1.2.6(这可作为群的另一定义，即群的单边定义)设 $G$ 是一个半群，如果
(a) $G$ 中含有左幺元 $e$ ，即对任一 $a\in G,ea=a$
(b) $G$ 的每一个元 $a$ 都有左逆 $a^{-1}$ 使得 $a^{-1}a=e$
试证 $G$ 是群。
1.2.7(这可作群的另一定义：即群的除法定义)设 $G$ 是半群，若对任意 $a,b\in G$ 方程 $xa=b,ay=b$ 在 $G$ 内有解，则 $G$ 是群。
1.2.8(这可作为有限群的另一定义)设 $G$ 是一个有限半群，如果在 $G$ 内左右消去律均成立，即由 $ax=ay$ 或 $xa=ya$ 可推出 $x=y$ 则 $G$ 是群。
1.2.11对任意 $a\in G,a\rightarrow a^{-1}$ 是群 $G$ 的自同构当且仅当 $G$ 是 $Abel$ 群
1.2.13证明：
(1)有理数加法群 $\mathbb{Q}$ 和正有理数乘法群 $\mathbb{Q}^ +$ 不同构
1.2.15令 $G$ 是 $n$ 阶有限群， $S$ 是 $G$ 的一个子集， $|S|>\frac{n}{2}$ 试证对任意 $g\in G$ 存在 $a,b\in S$ 使得 $g=ab$
1.2.18令 $G$ 是 $n$ 阶有限群， $a_1,a_2,\ldots,a_n$ 是群 $G$ 的任意 $n$ 个元，不一定两两不同，试证存在整数 $p$ 和 $q$ ， $1\leq p\leq q\leq n$ 使得 $a_p a_{p+1}\ldots a_q=1$
1.2.19群 $G$ 的自同构 $\alpha$ 称为没有不动点的自同构，是指对 $G$ 的任意元 $g\not =1$ 有 $\alpha(g)\not = g$ 如果有限群 $G$ 具有一个没有不动点的自同构 $\alpha$ 且 $\alpha^2=1$ 则 $G$ 一定是奇数阶 $Abel$ 群
1.2.20设 $a,b$ 是群 $G$ 的两个元，满足 $aba=ba^2b,a^3=1,b^{2n-1}=1$ 试证 $b=1$