在数学上，斐波那契数列是以递归的方法来定义
……续上回Fibonacci数列高效解法大全及时间复杂度分析 连载【4】
来看profile的记录分析，看时间具体用在哪个部分了
一看，绝大部分时间耗在两句results上了
看来主要都用来大整数运算了
下面来试一下
把这程序里两句“results = ”后面的大数运算注释掉，换成1。也就是两句都成“results = 1”
再运行计时看看
Total time: 0.000753秒
很惊人，去掉大数运算后，运行时间缩短成了原用时的1%。也就是99%时间消耗在Python内置的大数运算上了
下面试下用号称地球上最好的大数运算库替换掉Python内置的大数运算
9. 应用GMP库
全称是GNU Multiple Precision Arithmetic Library，即GNU高精度算术运算库，这是一个C写成的高效大数运算库
gmpy2是Python下对GMP库的封装
安装很简单，在操作系统下打命令pip install gmpy2，就安装好了
应用到程序也很简单
把上面的二分迭代解法程序开头添加一行
from gmpy2 import mpz
再把程序里
child_nodes = (n, 1)
child_nodes = (n, 0)
改成
child_nodes = (n, mpz(1))
child_nodes = (n, mpz(0))
就可以了
运行看一下用时
Total time: 0.00689297秒
是原用Python内置大数运算用时的9%
效果显著。可见Python内置大数运算效率确实不怎么样
相关大整数乘法高效算法的介绍可参见这篇《【算法】大数乘法问题及其高效算法》
极大整数乘法的时间复杂度低至近似O(n*log n)
前面二分解法本身时间复杂度是O(log n)
现在把大数因素考虑进去。大数时间复杂度的n可以用二进制位数表示
第n项斐波那契数的二进制位数k跟n是线性关系，n*10，那位数k也是*10
现在把极大整数乘法时间复杂度代入，O(n*log n)*O(log n)=O(n*(log n)^2)
也就是在大数情况下二分解法的时间复杂度为O(n*(log n)^2)
可以看这篇《为什么算法渐进复杂度中对数的底数总为2》解释
10. 矩阵解法
斐波那契数列和矩阵的关系推导我看到GoCalf Blog里写的一段非常清晰，特在此引用
http://www.gocalf.com/blog/calc-fibonacci.html这解法就是求矩阵的n-1次幂。矩阵幂运算也能根据下面公式迭代二分加速
就是所谓的矩阵快速幂
Python里库很丰富，大名鼎鼎的numpy就是一个有关矩阵的库。这库是有优化的，算矩阵幂就不用个人再写什么矩阵快速幂函数了
用numpy库就能很简单的写出来
因为numpy没有大数支持，大数运算还是要用GMP库
import numpy.matlib
from gmpy2 import mpz
def Fibonacci_sequence_06 (n: int) -> int: #参数n是表示求第n项Fibonacci数
'返回单项的矩阵解法'
assert isinstance(n, int), 'n is an error of non-integer type.'
if n>=0:
fib_matrix = numpy.mat(((mpz(1), mpz(1)), (mpz(1), mpz(0))))
fib_matrix **= n-1
return fib_matrix[0,0]
else:
return None
Fibonacci_sequence_06(1000000)
同上测用时
Total time: 0.042466秒
这幂运算是二分加速的，时间复杂度为O(log n)
对于固定阶矩阵相乘，乘的次数是个常数，也就是O(1)。虽然这个常数比较大^_*
代入大数时间复杂度，总体复杂度也是O(n*(log n)^2)
这儿来解释下为何矩阵快速幂比二分递归解法时间常数大
我们再来仔细看看斐波那契数列的矩阵形式：
会发现 z 和 y 必然相等，z 没必要再计算一遍。
t = x - y，因此 t 也没必要再计算一遍。
只需要计算矩阵第一列的那两个元素即可：
矩阵快速幂中两个矩阵相乘实际可分解为8次两个大整数乘法，而二分递归中只需要3次两个大整数乘法。所以二分递归时间常数小。
未完待续……
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