木东居士学习计划：第一周 数据的描述性统计

理论篇

• 数据的集中趋势
  • 众数
    数据集合中出现次数最多的数为众数，可能不止一个数值。
  • 中位数
    对于数据集合，按照从小到大或从大到小排列，
    如果集合数目为奇数个，排在中间的数字为中位数。
    如果集合数目为偶数个，排在中间的两位数的算术平均值为中位数。
  • 平均数
    算术平均值：集合中所有数据相加处以集合中数值个数。
    几何平均值：
    有些几何内的数值不止有加减关系还有乘除关系，此时应该用到几何平均值。集合中数值为，且所有的值都大于0，公式为
    
    例如生产线上各步骤是顺承关系，最终产品的合格率应用为几何平均值。
  • 分位数
    是指将一个随机变量的概率分布范围分为几个等份的数值点，常用的有中位数（即二分位数）、四分位数、百分位数等。
  • 极差
    极差又被称为全距，是指数据集合中最大值与最小值的差值，表示整个数据集合能够覆盖的数值距离。全距的计算公式为：
    
• 数据的离中趋势

  • 数值型数据：

    • 方差: 方差利用平方克服了离差和等于0的问题，
      －局限性 ：方差的单位是数据单位的平方，夸大了数据集合的离散型。
      

    • 标准差: 因为方差的局限性，取方差的算术平方根作为描述离散程度的指标。
      

    • 极差：极差又被称为全距，是指数据集合中最大值与最小值的差值，表示整个数据集合能够覆盖的数值距离。全距的计算公式为：
      

    • 平均差: 也叫平均偏差。对于任意数据集合，数据集合中每个数值与算术平均值之间的偏差的绝对值，处以数据个数。
      

    • 顺序数据：四分位差
      回顾知识点：中位数。
      引入知识点：一个集合的数，按照从小到大排序，排在四分之一位置的即为第一四分位数，，排在四分之二位置的即为第二四分位数，也就是中位数，排在四分之三位置的即为第三四分位数。
      引出知识点：四分位极差等于第一四分位数与第三四分位数的差值（）

    • 分类数据：异众比率
      是统计学当中研究现象离中趋势的指标之一。异众比率指的是总体中非众数次数与总体全部次数之比。换句话说，异众比率指非众数组的频数占总频数的比例。
      众数：是一组数据中出现次数最多数值。有时众数在一组数中有好几个。
      计算公式：
      
      其中，表示异众比率，表示众数次数，N表示总体单位总数（即总体次数）。

    • 相对离散程度：离散系数
      也称为变异系数，数值为标准差相对于算术平均值的大小。
      适用场景：两个集合算术平均值不等，标准差相等，无法对比集合中数值的离散程度。
      总体变异系数公式：
      
      样本变异系数：
      
      为总体标准差，为总体平均值，
      为样本标准差，为样本平均值。

    • 分布的形状：
      参考《统计学》 作者：卢黎霞,董洪清主编

      • 偏态系数(Coefficient of Skewness)：
        根据未分组的原始数据计算偏态系数时，通常采用下面的公式：
        

    为平均值
    为标准差

根据分组数据计算偏态系数的公式是：

为频次
偏态系数以平均值与中位数之差对标准差之比率来衡量偏斜的程度，用SK表示偏态系数:
1. 偏态系数小于0，因为平均数在众数之左，是一种左偏的分布，又称为负偏。
2. 偏态系数大于0，因为均值在众数之右，是一种右偏的分布，又称为正偏。
3. 偏态系数等于0即分布对称。

• 峰态系数（Coefficient of Kurtosis）：
  它是指数据分布的平峰或尖峰程度，峰态通常与正态分布比较而言，

1. 如果数据分布为标准正太分布，则峰态系数为0。
2. 如果峰态系数大于0，则为尖峰分布。
3. 如果峰态系数小于0，则为平峰分布。

峰态系数常用计算公式为：

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