弘毅：为什么三角形内角和一定是 180 度，而不是100度等呢？你看我们平时数数都是十进制，对吧？

我：em..., 这个听我跟你慢慢分析一下。

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摘要：

1. 三角形内角和为一周角度的一半是定理

2. 一圈是360度-历史沿用

3. 角度的本质

首先呢，这不是定义，这是定理。

1. 三角形内角和为一周角度的一半是定理

证明的方法有很多，站在初中生的角度，下面的方法是最简单之一。

过三角形顶点作平行于底边的直线。

利用平行线间内错角相等就可以很快推导出三角形内角之和为一条直线的角度，即所谓的平角。它正好是一圈的一半，因此是180度。

2. 一圈是360度-历史沿用

一圈是360度，这个是定义，这与历史有关沿用至今。

也就是说假设我们回到七千多年前的美索不达米亚平原，我们第一次规定一圈是多少的时候，也许不必非得是360，比如180，720，240等都有可能是好的选择。

因为当时的美索不达米亚的文明已经相当发达，知道一个月(月亮围绕地球的公转周期)差不多30天(地球自转周期)，一年(地球围绕太阳的公转周期)差不多360天。很多进制都是跟60，12有关，因此大概率是会选择6的倍数，选100度作为一周是不太可能的。

无论是时间进制，1小时=60分钟，1分钟=60秒；还是我们的时钟的外在形状是一个圈上标12个刻度等这种做法都是沿用了七千多年前的美索不达米亚文明。

但是无论一圈或者半圈定义为多少度，它一定是一个常数值。即这一圈跟那一圈，从角度的含义而言是相等的。

只要达成一个有威望的共识后，大家就会一直沿用下去。因为基本度量的统一对经济政治文化等的发展是有巨大贡献的，比如秦始皇宁愿焚书坑儒也要统一文字统一度量。

3. 角度的本质

另外，这种人为的对一圈规定为360度的作为，实际上虽然简单易懂也很方便，但是并没有体现角度的本质。

后来大家在高中学习的弧度制才体现了角度的本质。

采用弧度制，其优点在于我们发现： 

 即，扇形的弧长=角度*半径。

而这才是角度的本质。

圆周长公式就是这里的特殊情况，取弧长为整个一周，即

因为它利用了一个很深刻的定理: 圆的周长跟半径的比是一个固定的常数，约为6.28，也就是 。

从这个视角看，一圈角度一定是  。而不会像七千年前那样随意定义一圈。

之所以说这才是角度的本质，是因为我们不是随便拍脑袋去随意定义一个角度的大小，而是根据自然世界的客观规律去按规律记录一个角度它该有的大小的描述。

可见我们的圆周长公式是多么的深刻，它改变了人们以往看待角度的方式。

很多数学老师在讲到圆周长公式的时候，都只是让大家记住而已，肯定不会像这样讲得如此透彻，深入浅出！

实际上，在很长的人类历史上，人们都模糊的凭经验意识到这个圆周长定理，但是对的估计是不精确的。

比如古巴比伦人，在很长时间内都直接用3来估计 

这显然对生产有初步的帮助，同时又不是那么的准确和高效。

比如部落打仗时，要对一个弱小部落实行包围战，通过其大小来估计需要多少人手等。

大家都知道，在公元5世纪的南北朝的南宋数学家祖冲之用几何方法将圆周率计算到小数点后7位数字。

这在当时领先了世界很多年！

采用弧度制后，三角函数才能很方便的将定义推广到整个实数上，即 。

而且，如此才有了被后世称为人类历史上最美的公式之一的欧拉公式:

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