题目

给出n个物品的体积A[i]和其价值V[i]，将他们装入一个大小为m的背包，最多能装入的总价值有多大？

** 注意事项 **
A[i], V[i], n, m均为整数。你不能将物品进行切分。你所挑选的物品总体积需要小于等于给定的m。

** 样例 **
对于物品体积[2, 3, 5, 7]和对应的价值[1, 5, 2, 4], 假设背包大小为10的话，最大能够装入的价值为9。

分析

此题和背包问题1是类似的，只是将重要的计算换成了价值，具体可参考问题的解析，也可以参考代码

同样有两种方法

public int backpackII(int m, int[] A, int[] V) {
        int[][] dp = new int[A.length][m+1];
        //dp[i][j]为当背包总重量为j且有前i个物品时，背包最多装满dp[i][j]的空间
        
        //初始化动态规划矩阵的第一列
        //当背包空间为0时，不管物品多大，能放的空间都是0
        for(int i=0;i<A.length;i++)
            dp[i][0] = 0;
        
        //初始化动态规划矩阵第一行
        //当放入第一个物品时，如果背包空间大于物品，就放入，dp就等于第一个物品的重量，否则，就不放入，dp就为0
        for(int j=1;j<m+1;j++) {
            if(A[0]>j)
                dp[0][j] = 0;
            else
                dp[0][j] = V[0];
        }
        
        /*初始化第一行和第一列就可以使用状态转移方程了
        状态转移方程为：dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j - A[i]] + V[i], dp[i-1][j]);
        由状态转移方程知道，要求出dp[i][j]只需要知道它上面和左上面的值就可以了
        所以，只要初始化第一行第一列就可以求出全部的*/
        
        for(int i=1;i<A.length;i++) {
            for(int j=1;j<m+1;j++) {
                if(A[i]<j)
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j - A[i]] + V[i], dp[i-1][j]);
                else
                    dp[i][j] = dp[i-1][j];
            }
        }
            
        
        
        return dp[A.length-1][m];
    }

public int backpackII_I(int m,int[] A,int[] V) {
        int[] dp = new int[m+1];
        
        for(int i=0;i<A.length;i++) {
            for(int j=m;j>0;j--) {
                if(j>=A[i])
                    dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-A[i]]+V[i]);
            }
        }
        
        return dp[m];
    }