因数和倍数

一、自然数分类

自然数在很早以前就被人们以数数的方式存在着，所以，便有了0、1、2、3......的产生，物体有了具体的数量后，由于生活所需，就需要对它进行更明确的划分。

以100以内的自然数为例，用各个自然数分别除以2，通过计算，有的孩子给出了如上答案，看到这结果后，立即出现反驳声：这个结论说的有点模糊，这里的整数和小数到底指的是谁？另一孩子立即给出答案：他想表达的意思是两数相除后得到的商的两种情况。

师：他想要表达什么意思呢？

生1：他想表达的是商按照有没有余数来分类。

师：这两种分类标准有什么联系呢？

生2:这两种都是根据商的情况来分类的。

生3：第一种有些商虽然是小数，但是它和余数的道理是相同的。我觉得自然数可以分成两类：有余数的和没有余数的。

生4：老师，我还发现凡是单数除以2后都有余数，双数除以2都没有余数。

师：他说的单数和双数是什么意思？谁来解释？

生1：单数就是个位数字是1、3、5、7、9的数，双数是指个位数字是2、4、6、8的数。

师：对，单数和双数是我们在低年级认识自然数时的说法，在这里它还有另外一个新的名字，单数也叫质数，双数叫偶数。

生2:老师，我明白了，能被2整除的数就是偶数，不能被2整除的数就是奇数，对吧？

师：说的太好了！确实是这样的。这样分类有没有做到不重不漏呢？

生1：好像把0漏掉了。

师：那0到底是奇数，还是偶数呢？

生2：凭直觉，我觉得它应该是偶数吧，但是说不出原因。

生3：老师，我知道，因为0÷2=0，这说明0能被2整除，所以它就是偶数。

师：我们刚刚举的都是特例，能不能用用一个代数式来表示奇数和偶数的普遍性呢？

生1：我觉得应该用n来表示。

生2：我反对，n可以代表任何数，如果它是2，就表示偶数，但如果它是3，就不能表示偶数了。

生3：是不是要用2n来表示？因为偶数是能被2整除的数，2和任何一个数相乘，都能得到2的倍数。

生4：因为n×2=2n，根据乘除互逆2n÷2=n，所以我觉得用2n表示是正确的。

师：对，奇数怎么表示呢？

生1：n+1

生2：不对，如果n表示1的话，n+1=2，这个代数式就表示一个偶数。

生3:2n+1，因为2n表示的是一个偶数，2n+1一定是一个奇数。

生4：因为相邻两个自然数相差为1，只要比偶数多1就是奇数。

生5：这样的话，我觉得还可以用2n-1表示。

生6：我不同意这种说法，如果n表示0，那么2n-1就等于-1，它就不是自然数了。

师：这只是一个特例，其实这两种方法都可以表示，只不过人们常常习惯了使用2n+1来表示奇数。

如果用100以内的自然数依次除以3，该如何划分自然数呢？这个同学想要表达什么意思呢？

生1：他想要表达的意思是根据商是否是3的倍数为分类依据。

生2：可是不能被3整除的有两种情况：余数是1的，和余数是2的。

生3：也就是说100以内的自然数被3整除的能分成三种情况：第一种是能被3整除的，第二种是余数是1的，第三种是余数是2的。

师：如何用代数式来表示这些分类呢？

生1：能整除的用3n表示，因为无论n为任何自然数都是3的倍数。

生2：余数是1的可以用3n+1表示，余数是2的用3n+2表示.

师：说的太好了！被4整除的呢？他想要表达什么？

生1：他说被4除后余数有四种情况：余数分别是0、1、2和3，并且下一组数也是按照这个规律排列的。

生2：我明白了，他的分类依据是按照没有余数、余数是1、余数是2和余数是3这四类来划分的。

师：用代数式如何表示？

生3：没有余数的用4n表示，余数是1的用4n+1表示，余数是2的用4n+2表示，余数是3的用4n+3表示。

师：大家有没有发现一个规律？

生：我知道了，被2整除的数可以把自然数分成两类，被3整除的数可以把自然数分成三类，被4整除的数可以把自然数分成四类......也就是说，自然数是几，就能把它分成几种情况。

师：既然有这么多种分法，那么我们到底按照哪种分类标准最合适呢？

生1：觉得哪一种都可以，但是又觉得太多，太麻烦。

生2：我觉得应该是按照整除2的为标准吧，因为这样的话只用分成两种，也就是奇数和偶数两种就行，多了麻烦，还需要多个命名，不好记。

师：看来今天的讨论太有价值了。

就这样，通过一番烧脑，把100以内的自然数清晰分类。

二.2、3、5倍数特点

  在百数表中，把100以内自然数中的奇数和偶数分别表示如上图（蓝色为奇数，红色是偶数）。怎样才能快速判断出来呢？因为有了上一节课对奇、偶数的命名，孩子们很快就找到答案：个位数字是0、2、4、6、8的数是偶数，个位数字是1、3、5、7、9的数字是奇数。

  师：如果任意给你一个数，能能否一眼看出它是否是偶数？

生1：如果一个个的除，太麻烦了，我只要看个位数字就可以了。

生2：个位数字是0、2、4、6、8的数肯定是偶数。

师：最小的偶数和最大的偶数分别是多少呢？

生1：最小的偶数是2，最大的偶数好像没有。

生2：我不同意他的说法，他把0给丢了，0才是最小的偶数。

师：最小的奇数和最大的奇数分别是多少呢？

生：最小的奇数是1，最大的奇数不存在，因为自然数的个数是无限的。

师：假设a代表十位数字，b代表个位数字，你如何用位值制的方法表示出来一个两位数呢？

生1：a+b

生2：如果a代表2，b代表3，那么a+b=5，这个5是一个一位数，不符合条件。

生3：对，我感觉十位数字应该是这个数字的10倍，所以这个数应该表示为10a+b

师：他要表达什么意思呢？

生：10a表示a的10倍，也就是a个十，b表示b个一。

师：在这里如何限制a和b，才能让这个代数式符合偶数的条件呢？

生：十位上的a无论为何数，10a都是偶数，个位上的b只要是0、2、4、6、8就能符合偶数的条件。

师：能被5整除的数有什么特点呢？

生1：我发现凡是几十和几十五的数字都能被5整除。

生2：老师，他说的太模糊了，我发现只要个位数字是0，或5的数都能被5整除。

师：对，数学除了不引起别人的误会外，还要追求简洁美，更要有数学家的语言。那么谁能用位值制的方法来表示符合条件的代数式呢？

生：10a+b，其中个位数字b为0或5,就能被5整除。

师：那么3呢？

生1：个位数字是3的数字都能被3整除。

生2:不对，13、23和43就不能被3整除。

生3：个位数字是6和9的能被3整除。

生4:不对吧，26、46和56都不能被3整除。

生5:19、29、49也不能。

师：你们除了一个一个数去除外，真的没有发现其他规律吗？

生6：老师我发现，3这一斜列中，每相邻两个数相差9，6这一斜列中，每相邻两个数相差9,9这一斜列中，每相邻两个数也相差9......

师：在百数表中，我们找到了这个规律，但是你怎么样才能快速找出来呢？

生1：我发现每个两位数的两个数字加起来的和都能除以3。

生2：任意一个数只要是把它所有的数字相加是3的倍数就行了。

师：对，一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。一定要有数学家的语言哦！大家课下也可以研究一下下面这种分析方法。

三、奇、偶数的四则运算

前边已经探索过奇数和偶数，凡是数都可以参加四则运算，那么奇偶数加减乘除后，会得到什么结果呢？（数字例子只能是一种特例，而代数式则具有普遍性，所以下面代数式中m和n均为自然数）

奇数加奇数：（2n+1）+（2m+1）=2m+2n+2=2(m+n+1)，m+n+1无论是何数，它的2倍都是一个偶数，所以奇数+奇数=偶数。

奇数减奇数：（2m+1）-（2n+1）=2m-2n=2(m-n),m-n不论是何数，它的2倍都是一个偶数，所以奇数-奇数=偶数。

奇数乘奇数：（2m+1）×（2n+1）=4mn+2m+2n+1=2（2mn+m+n）+1，显然，2（2mn+m+n）是偶数，加1就是奇数，所以奇数×奇数=奇数。

奇数除以奇数：（2m+1）÷（2n+1）显然代数式是无法分解的，可以利用假设法，假设它的商是偶数，从上例中已知奇数×奇数=奇数，显然这个假设不成立；假设它的商是奇数，奇数×奇数=奇数，符合条件，所以奇数÷奇数=奇数。

偶数加偶数：2n+2m=2（m+n），显然这个数是偶数，所以偶数+偶数=偶数。

偶数减偶数：2m-2n=2(m-n),m-n不论是何数，它的2倍都是一个偶数，所以偶数-偶数=偶数。

偶数乘偶数：2m×2n=4mn，它也是偶数，所以偶数×偶数=偶数。

偶数除以偶数：2m÷2n=m÷n=m/n，这个结果可以是奇数，也可以是偶数，所以偶数÷偶数既可以是奇数，也可以是偶数。

奇数加偶数：（2n+1）+2m=2m+2n+1=2(m+n)+1，2(m+n)是偶数，再加1，就是奇数，所以奇数+偶数=奇数。

奇数减偶数：（2m+1）-2n=2m-2n+1=2(m-n)+1,2(m-n)是一个偶数，减1是奇数，所以奇数-偶数=奇数。

奇数乘偶数：（2m+1）×2n=4mn+2n=2n（m+1），显然，2n（m+1）是偶数，所以奇数×偶数=偶数。

奇数除以偶数：（2m+1）÷2n，奇数÷偶数不可能是整数，所以它的结果可能是分数，或小数。

四、如何快速判断是质数还是合数

按照是否是2的倍数，可以把自然数分为奇数和偶数，除了这一种分类标准外，还有没有其它的分类标准呢？比如，把1~30之内的所有自然数分解成尽可能多的整数相乘的形式，如下图所示：

师：你发现了什么？

生：都是可以利用乘法口诀，或通过口算分成两个数相乘的形式。

师：暂不说他分的所有算式都是正确的，没有漏掉的，单说分出来的算式，你有发现吗？

生：有的算式能分成多个数相乘，而有的只能分成两个数相乘

师：那这能不能算是对自然数另一种分类了呢？

生：肯定算了

师：它的分类标准是什么呢？

（对于这种分类他们只能意会，不能言谈。后来宋老师由算式2×3=6为例，引导学生认识到在乘法算式中，6是2和3的倍数，2和3是6的因数，也就是说积是乘数的倍数，乘数是积的因数。此时学生才以因数的多少为分类依据。）

师：以这个分类为依据，到底可以分为哪两类呢？

生1：有两个因数的为一类，三个因数的为一类，四个因数的为一类......不行，这样分类还是比较模糊。

生2：我认为应该把只有1和它本身两个因数的分一类，把因数比较多的分一类。

师：说的非常好，我们通常把只有1和它本身再没有其它因数的数称为质数，除了1和它本身还有其它因数的数称为合数。那么我们有没有做到不重不漏呢？

生1:0给漏掉了。

师：0到底是质数还是合数呢？

生：0可以变成任何数和0相乘，但是又感觉它有点奇怪。

师：对，为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所说的数是自然数，一般不包括0，所以我们暂时不研究它，还有吗？

生：还有1,1和任何数相乘仍得它本身，这个数也比较特殊，但是我不知道它到底是质数还是合数。

师：1确实很特殊，它既不是质数也不是合数。那么一个数肯定是1的倍数，1是所有数的因数。这句话对吗？

生：正确。

师：所有的奇数只有1和它本身两个因数吗？

生1：是的，比如3=1×3，它的因数只有1和3

生2：不对，9也是奇数，但是9的因数除了1和9外，还有3。

师：那我们现在又把自然数怎么分类了？

生：分成了1、质数和合数。

五.学习235倍数特点与判断质数合数有什么关系

师：怎样才能快速识别100以内的质数呢？

生1：老师，我觉得应该先把偶数找出来，因为能被2整除的数字有很多，剩下的数就容易找了。

生2：还可以通过找个位数字是0和5的方法把5的倍数找出来

生3：对，再找3的倍数。

师：这样就可以全部找完了吗？

生们：应该是。

生1：不对，77和91应该还有其它的因数

生2：77的因数除了1和77外，还有7和11

生3：91的因数有1、7、13和91

师：大家有没有发现这两个数都与哪一个数有关系呢？

生们：与7有关系

师：是的，那么剩下的数全部都是质数吗？

孩子们都表示同意

师：为什么我们只研究2、3、5和7的倍数问题，而不去研究其它的数，难道其它数没有规律吗？

生1：老师，我还发现11也有规律，它和任何数相乘的积，百位和个位上的数字相加的和都等于十位上的数字。比如，11×2=22，百位上的0和个位上的2之和等于十位上的数字2；11×23=253，百位上的2和个位上的3之和等于十位上的数字5......我举了很多这样的例子，都符合这个规律。

师：你的发现很重要，这个规律也很神奇。希望大家能在课下继续探索一些其它数的规律。

  自然数的分类到此暂告一段落，其实，这里面还蕴藏着很多奥秘，需要不断挖掘，这段时间他们的探索正浓，希望能挖掘出更多更有价值的东西。