两直线位置关系

作者: 天马无空 | 来源:发表于2021-03-25 17:59 被阅读0次

两直线位置关系
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两直线位置关系，是高考的必考内容之一. 其要求的难度不高，一般从下面三个方面命题：
一是利用直线方程判定两条直线的位置关系；
二是利用两条直线间的位置关系求直线方程；
三是综合运用直线的知识解决诸如中心对称、轴对称等常见的题目，但大都是客观题出现.

类型一两条直线的平行与垂直问题

两条直线的平行与垂直问题

使用情景：关于两直线的平行于垂直的问题
解题步骤：

第一步直接运用两直线平行与垂直的性质对其进行求解；
第二步得出结论.

例1. 若直线 $ax+2y+6=0$ 和直线 $x+a(a+1)y+(a^2-1)=0$ 互相垂直，则 $a$ 的值为( )
A． $1$
B． $-\dfrac{3}{2}$
C． $-\dfrac{3}{2}$ 或 $0$
D． $0$
【答案】C.

【解析】

当 $a=0$ 时，两直线方程为 $y=-3$ ， $x=1$ ，符合题意，

当 $a=-1$ 时，两直线方程为 $x-2y-6=0$ ， $x=0$ ，不符合题意，

当 $a \neq 0$ ， $a \neq1$ 时，有 $(-\dfrac{a}{2})\times (-\dfrac{1}{a(a+1)})=-1$ ，解得 $a=-\dfrac{3}{2}$
【总结】在两直线的斜率存在的情况下，两直线垂直其斜率的乘积等于 $-1$ .若斜率不存在时，另一直线的斜率为 $0$ 也满足条件，这是解决这道题的易错点.

例2 若直线 $l_1:ax+y-1=0$ 与 $l_2:3x+(a+2)y+1=0$ 平行，则 $a$ 的值为（）
A． $1$ B． $-3$ C． $0$ 或 $-\dfrac{1}{2}$ D． $1$ 或 $-3$
【答案】A
【解析】
由题设可得 $a(a+2)=3$ ,解之得 $a=1$ 或 $a=-3$ .当 $a=-3$ 时两直线重合,故应舍去,故应选A.
考点：两直线平行的条件及运用.
【总结】在两直线的斜率存在的情况下，两直线平行其斜率相等.

类型二关于两条直线的交点问题

两条直线的交点问题

使用情景：两直线相交问题
解题步骤：

第一步联立两直线的方程并求解；
第二步其方程组的解即为两直线的交点的坐标；
第三步得出结论.
例3 过两直线 $l_1:x-3y+4=0$ 和 $l_2:2x+y+5=0$ 的交点和原点的直线方程为（）
A． $19x-9y=0$ B． $9x+19y=0$ C． $19x-3y=0$ D． $3x+19y=0$
【答案】D
【解析】
过两直线交点的直线系方程为 $x-3y+4+\lambda (2x+y+5)=0$ ，
代入原点坐标，求得 $\lambda =-\dfrac{4}{5}$ ，
故所求直线方程为 $x-3y+4-\dfrac{4}{5} (2x+y+5)=0$ ，
即 $3x+19y=0$ .
【总结】过直线交点可以联立这两条直线的方程，求出交点的坐标，由于所求直线过原点，故由两点式可以求出直线的方程.由于联立方程组来求结算量较大，我们可以采用直线系方程来做，具体过程是，先设出直线系方程 $x-3y+4+\lambda (2x+y+5)=0$ ，代入原点坐标，求得 $\lambda =-\dfrac{4}{5}$ ，即可得到所求，这样运算量非常小.

类型三对称问题

点与点、点与直线、直线与直线的对称问题

使用情景：点与点、点与直线、直线与直线的对称问题
解题步骤：

第一步确定具体问题是哪类对称问题如点与点、点与直线、直线与直线的对称；
第二步运用各自相应的对称模型进行求解；
第三步得出结论.
例4．过点 $P(0,1)$ 作直线 $l$ 使它被直线 $l_1：2x＋y－8＝0$ 和 $l_2：x－3y＋10＝0$ 截得的线段被点 $P$ 平分，求直线 $l$ 的方程．
【答案】直线的方程为 $x＋4y－4＝0$ .

【解析】

设 $l_1$ 与 $l$ 的交点为 $A(a,8-2a)$ ，
则由题意知，点 $A$ 关于 $P$ 的对称点 $B(-a,2a-6)$ 在 $l_2$ 上

代入 $l_2$ 的方程得 $-a-3(2a-6)+10=0$ ，
解得 $a=4$ ，即点 $A(4,0)$ 在直线 $l$ 上

所以直线 $l$ 的方程为 $x＋4y－4＝0$ .

考点：点关于点的对称；两直线相交问题．
【点评】点 $P(x，y)$ 关于 $O(a，b)$ 的对称点 $P′(x′，y′)$ 满足 $\begin{cases}x'=2a-x\\y'=2b-y\end{cases}$

例5．已知直线 $l：2x－3y＋1＝0$ ，点 $A(－1，－2)$ ，求点 $A$ 关于直线 $l$ 的对称点 $A′$ 的坐标．
【答案】 $A'(-\dfrac{33}{13},\dfrac{4}{13})$ .

【解析】

设 $A'(x,y)$ ，由已知得 $\begin{cases}\dfrac{y+2}{x+1} \times \dfrac{2}{3}=-1\\2\times \dfrac{x-1}{2}-3 \times \dfrac{y-2}{2}+1=0\end{cases}$ ，
解得 $\begin{cases}x=-\dfrac{33}{13}\\y=\dfrac{4}{13}\end{cases}$

故 $A'(-\dfrac{33}{13},\dfrac{4}{13})$ .
【总结】直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．
例6．已知直线 $l：2x－3y＋1＝0$ ，求直线 $m：3x－2y－6＝0$ 关于直线 $l$ 的对称直线 $m′$ 的方程．
【答案】 $9x－46y＋102＝0$ .

【解析】在直线 $m$ 上取一点，如 $M(2,0)$ ，

则 $M(2,0)$ 关于直线 $l$ 的对称点 $M'$ 必在直线 $m'$ 上，

设对称点 $M'(a,b)$ ，则 $\begin{cases}2\times \dfrac{a+2}{2}-3 \times \dfrac{b+0}{2}+1=0\\\dfrac{b-0}{a-2} \times \dfrac{2}{3}=-1\end{cases}$ ，
得 $M'(\dfrac{6}{13},\dfrac{30}{13})$ .

设直线 $m$ 与直线 $l$ 的交点为 $N$ ，则由 $\begin{cases}2x-3y+1=0 \\ 3x-2y-6=0\end{cases}$ ，得 $N(4,3)$

又 $\because m'$ 经过点 $N(4,3)$ ，

所以由两点式的直线 $m'$ 的方程为 $9x－46y＋102＝0$ .

【总结】

点 $A(a，b)$ 关于直线 $Ax＋By＋C＝0(B≠0)$ 的对称点 $A′(m，n)$ ，则有

$\begin{cases}\dfrac{n-b}{m-a} \times \left(-\dfrac{A}{B}\right)=-1\\A\cdot \dfrac{a+m}{2}+B \cdot \dfrac{b+n}{2}+C=0\end{cases}$

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