1. 什么是组合数学

数学发展史：初等→分析→组合
组合数学：抽象代数，集合论，数论，群论，拓扑学
幻方
n阶幻方定义：数字不能重复，每行每列和相等
幻和：(1+2+...+n^2)/n
幻方的存在性? ≥3
如何构造？

三阶
杨辉：九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺进。

（按顺序摆放，对换对角）
巴舍法（平移补空法）：斜排好九个数字后，就将上、下、左、右的四个数字向对方的方向（下、上、右、左）移动三格。
奇数阶：
先填上行正中央，
依次斜填切莫忘。
上格没有顶格填，
顶格没有底格放。

循环棋盘，第一排正中间放1，放右上角，如果已经有数字，放于正下方

4n阶：
互补数：如果两个数字的和等于幻方最大数和最小数的和,即 n×n+1
从左到右，从上到下顺序填写，对角线数字改为互补数，m≥2时切割为4×4
4n+2阶：
4n+2看做2×(2n+1)，转化成了2个2n+1

四象限

用奇数阶解，从A表中的中心（即第n行的MagicSquare[n][n]）开始，按照从左向右的方向，标出n个数，A表中的其他行则标出最左边的n格中的数（在图中用红色背景标出），并且将这些标出的数和C表中的对应位置互换。
在B表中的中心开始，自右向左，标出n-1列，将B中标出的数据与D表中对应位置的数据交换。但是6阶幻方中，n-1此时等于0，所以B与D不用做交换。

交换

多少种构造方法？

变形幻方：素数，数列，相乘

阿基米德的十四巧板
多少种方法放回盒子？枚举法
破解手机密码
无重复无遗漏
手势组合与顺序
不合理位置约束

2. 暴力枚举和抽象转换

世界杯的复赛n-1场
哥尼斯堡七桥问题一笔画
奇数点个数要么0，要么2

作业

由数字1,2,3,4,5可以构成多少个四位数？要求四位数的所有数字都不相同。P(5,4)=5x4x3x2=120

某场大型比赛中共有569个参赛者，如果进行单场淘汰赛，直至决出冠军，请问一共要进行多少场比赛？568
每场比赛淘汰一个人，一共需要淘汰n-1人

在中国古代，有五行相克之说。五行即金、木、水、火、土。而相克是金克木、木克土、土克水、水克火、火克金。从五行中找出互不相克的两行，共有几种不同选法？
（金，土），（金，水），（木，水），（木，火），（土，火）一共五种

如下图所示的六桥问题一共有多少种不重复遍历6座桥的走法？

从1出发回到4有16种：
a-b-c-f-d-e a-b-c-f-e-d a-b-d-e-c-f a-b-d-f-c-e a-b-e-d-c-f a-b-e-f-c-d
c-b-a-f-d-e c-b-a-f-e-d c-d-e-b-a-f c-d-f-a-b-e c-e-d-b-a-f c-e-f-a-b-d
f-d-c-a-b-e f-d-b-a-c-e f-e-b-a-c-d f-e-c-a-b-d
同理，从4出发回到1也有16种走法，请大家一一枚举。

下图是一个部分4X4方阵，能否在此基础上构造出来一个由数字1-16构成的4阶幻方？

假设可以构造出来一个如下4阶幻方：

则1≤a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k≤16且a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k互不相等
4阶幻和为34
将第一行和第一列分别相加得：
2+3+a+b=34
2+4+f+i=34
于是有：
a+b=29
f+i=28

若a,b的取值为13,16，则不存在f,i的合理取值使得两者相加等于28（14+14和15+13和12+16都不合法）
若a,b的取值为14,15，且f,i的取值为12,16，将第二行、第二列和对角元分别相加得：
其中c,d,e,g,j,h,k∈{1,5,6,7,8,9,10,11,13}
将三个式子相加得9+3c+d+e+g+h+j+k=102。
若取c=13,d+e+g+h+j+k=54,但是11+10+9+8+7+6<54,矛盾。
当c取小于13的数时更无法满足条件。
综合1)2)得假设不成立，因此不能在此基础上构造出一个4阶幻方。

哪些数字作为幻和，可以构造出由不重复的正整数构成的三阶幻方？18
先构造一个三阶幻方：

假设幻和为k,有：
三个式子相加得到：
M1+M2+M3+3M5+M7+M8+M9=3k
又有：
M1+M2+M3=k
M7+M8+M9=k
将上面两个式子代入（1）化简得到：M5=k/3
构造幻和为3的倍数的幻方方法：设k=3(5+m)，m>=0，那么任取一个三阶幻方，将其中每个数加上m，即可形成幻和。题中18=3(5+1)，即三阶幻方每个元素加1即可。
（减1为12）

其他幻方：
确定一个唯一的四阶幻方至少需要知道其中几个数字?
https://zhidao.baidu.com/question/561002163716082204.html
四组任意的数，只要每组的四个数相互之间的差值都相同，就可以组成四阶幻方。如以下四组数
【A、A+x、A+y、A+z】、
【B、B+x、B+y、B+z】、
【C、C+x、C+y、C+z】、
【D、D+x、D+y、D+z】、
幻和值=A+B+C+D+x+y+z
所以，要确定一个唯一的四阶至少需要知道7个数。

三阶幻方