n元对称群

作者: 抄书侠 | 来源:发表于2019-02-08 10:44 被阅读0次

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除了图形具有对称性，还有很多事物也具有对称性，如一元二次方程 $x^2+bx+c=0$ 两个复根和系数就满足韦达定理，且两个根调换顺序不影响韦达定理，即在两个复根和系数之间存在一个双射。
因此考虑一个事物的对称性，就考虑其到自身的双射，这些双射的集合称为全变换群。特别的，考虑的集合为有限集合时，双射称为置换，这时 $\Omega$ 上的一个置换称为 $n$ 元置换，称 $\Omega$ 上的全变换群为 $n$ 元对称群，记作 $S_n$
定理1 $S_n$ 中任一非单位元的置换都能表示成一些两两不相交的轮换的乘积，并且除了轮换的排列次序外，表示法是唯一的。
命题1 $S_n$ 中的一个置换表示成对换的乘积，其中对换的个数的奇偶性由这个置换本身决定，与表示方式无关。
若置换 $\sigma$ 可以表示成偶数个对换的乘积，那么称 $\sigma$ 是偶置换，否则为奇置换。
定义1 设 $S$ 是群 $G$ 的一个非空子集，如果 $G$ 中每一个元素都能表示成 $S$ 中有限多个元素的整数次幂的乘积，那么称 $S$ 是群 $G$ 的生成元集，或者说 $S$ 的所有元素生成 $G$ 。

习题

2.在 $S_n$ 中，设 $\sigma=(i_1,i_2,\ldots,i_r)$ ，证明：对于任意 $\tau\in S_n$ 有 $\tau\sigma\tau^{-1}=(\tau(i_1)\ \tau(i_2)\ \ldots\ \tau(i_r))$
5.证明：(1) $S_n=<(12),(23),\ldots,(n-1,n)>$
(2) $S_n=<(12),(12\ldots n)>$
6.证明：当 $n\geq 3$ 时， $A_n=<(123),(124),\ldots,(12n)>$