高等代数理论基础12：对称多项式

作者: 溺于恐 | 来源:发表于2018-12-24 07:21 被阅读60次

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对称多项式

定义：若n元多项式 $f(x_1,\cdots,x_n)$ 对任意的 $i,j,1\le i\lt j\le n$ ,都有 $f(x_1,\cdots,x_i,\cdots,x_j,\cdots,x_n)=f(x_1,\cdots,x_j,\cdots,x_i,\cdots,x_n)$ ,则称为对称多项式

即任意对换两个文字的地位, $f(x_1,\cdots,x_n)$ 恒不变,则它是一个对称多项式

注：对称多项式的和、积以及对称多项式的多项式还是对称多项式

若 $f_1,f_2,\cdots,f_m$ 是n元对称多项式,则 $g(f_1,f_2,\cdots,f_m)=h(x_1,x_2,\cdots,x_m)$ 是n元对称多项式

初等对称多项式

$\begin{cases}\sigma_1=x_1+x_2+\cdots+x_n\\ \sigma_2=x_1x_2+x_1x_3+\cdots+x_{n-1}x_n\\ \cdots\\ \sigma_n=x_1x_2\cdots x_n\end{cases}$

其中 $\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_n$ 都是n元堆成多项式

注：初等对称多项式的多项式还是对称多项式,任一对称多项式都能表成初等对称多项式的多项式

定理：对任意一个n元对称多项式 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 都有一个n元多项式 $\varphi(y_1,y_2,\cdots,y_n)$ 使得

$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\varphi(\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_n)$

证明：

$设对称多项式f(x_1,x_2,\cdots,x_n)的首项为$

$ax_1^{l_1}x_2^{l_2}\cdots x_n^{l_n},a\neq 0$

$\therefore l_1\ge l_2\ge \cdots\ge l_n\ge 0$

$若不然,设有l_i\lt l_{i+1}$

$由于f(x_1,x_2,\cdots,x_n)是对称的$

$\therefore f(x_1,x_2,\cdots,x_n)中含有ax_1^{l_1}\cdots x_i^{l_{i+1}}x_{i+1}^{l_i}\cdots x_n^{l_n}$

$该项显然先于ax_1^{l_1}x_2^{l_2}\cdots x_n^{l_n},矛盾$

$作对称多项式\varphi_1=a\sigma_1^{l_1-l_2}\sigma_2^{l_2-l_3}\cdots \sigma_n^{l_n}$

$\because \sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_n的首项分别为$

$x_1,x_1x_2,\cdots,x_1x_2\cdots x_n$

$\therefore \varphi_1展开后首项为$

$ax_1^{l_1-l_2}(x_1x_2)^{l_2-l_3}\cdots ({x_1x_2\cdots x_n})^{l_n}=ax_1^{l_1}x_2^{l_2}\cdots x_n^{l_n}$

$即f(x_1,x_2,\cdots,x_n)与\varphi_1有相同的首项$

$\therefore 对称多项式f_1(x_1,x_2,\cdots,x_n)$

$=f(x_1,x_2,\cdots,x_n)-a\sigma_1^{l_1-l_2}\sigma_2^{l_2-l_3}\cdots \sigma_n^{l_n}$

$=f-\varphi_1$

$f_1(x_1,x_2,\cdots,x_n)比f(x_1,x_2,\cdots,x_n)有较小的首项$

$对f_1(x_1,x_2,\cdots,x_n)重复上面的做法$

$可得一系列对称多项式$

$f,f_1=f-\varphi_1,f_2=f_1-\varphi_2,\cdots\qquad (1)$

$它们的首项一个比一个小$

$其中\varphi_i是\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_n的多项式$

$设bx_1^{p_1}x_2^{p_2}\cdots x_n^{p_n}是(1)中某一对称多项式的首项$

$\therefore ax_1^{l_1}x_2^{l_2}\cdots x_n^{l_n}先于它$

$即有l_1\ge p_1\ge p_2\ge \cdots\ge p_n\ge 0$

$适合上述条件的n元数组(p_1,p_2,\cdots,p_n)只能有有限多个$

$\therefore (1)中也只能有有限多个对称多项式不为零$

$即\exists h\in Z_+使f_h=0$

$即f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\varphi_1+\varphi_2+\cdots+\varphi_h$

$可表成初等对称多项式的一些单项式的和$

$即f(x_1,x_2,\cdots,x_n)可表成初等对称多项式的一个多项式\qquad \mathcal{Q.E.D}$

注：证明过程即为把一个对称多项式表位初等对称多项式的多项式的过程

对称多项式基本定理

定理：任一n元对称多项式 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 有唯一确定的 $\varphi(y_1,y_2,\cdots,y_n)$ 使得

$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\varphi(\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_n)$

例：把三元对称多项式 $x_1^3+x_2^3+x_3^3$ 表为 $\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3$ 的多项式

解：

$x_1^3+x_2^3+x_3^3的首相为x_1^3$

$对应有序数组(3,0,0)$

$\sigma_1^{3-0}\sigma_2^{0-0}\sigma_3^0=\sigma_1^3$

$作对称多项式x_1^3+x_2^3+x_3^3-\sigma_1^3$

$=-3(x_1^2x_2+x_2^2x_1+\cdots)-6x_1x_2x_3$

$首项-3x_1^2x_2的方幂为(2,1,0)$

$-3\sigma_1\sigma_2=-3(x_1+x_2+x_3)(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)$

$=-3(x_1^2x_2+x_2^2x_1+\cdots)-9x_1x_2x_3$

$\therefore x_1^3+x_2^3+x_3^3-\sigma_1^3+3\sigma_1\sigma_2$

$=3x_1x_2x_3=3\sigma_3$

$\therefore x_1^3+x_2^3+x_3^3=\sigma_1^3-3\sigma_1\sigma_2+3\sigma_3$

注：对 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ ,差积的平方 $D=\prod\limits_{i\lt j}(x_i-x_j)^2$ 是一个重要的对称多项式

按对称多项式基本定理

D可表成多项式 $D(a_1,a_2,\cdots,a_n)$

$其中,a_1=-\sigma_1,a_2=\sigma_2,\cdots,a_k=(-1)^k\sigma_k,\cdots,a_n=(-1)^n\sigma_n$

由根与系数的关系可知

$x_1,x_2,\cdots,x_n$ 是f(x)的根

$f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_0$

$D(a_1,a_2,\cdots,a_n)=0$ 是方程在复数域上有重根的充分必要条件

称 $D(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 为一元多项式f(x)的判别式

例：

1. $x^2+a_1x+a_2$ 的判别式为 $D=a_1^2-4a_2$

2. $x^3+a_1x^2+a_2x+a_3$ 的判别式为 $D=a_1^2a_2^2-4a_2^3-4a_1^3a_3-27a_3^2+18a_1a_2a_3$

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