类型二 球的外切问题
使用情景：有关球的外切问题
解题步骤：
第一步 首先画出球及它的外切圆柱、圆锥等几何体，它们公共的轴截面；
第二步 然后寻找几何体与几何体之间元素的关系
第三步 得出结论.
【例1】. 正三棱锥的侧棱长为
，两侧棱的夹角为
，求它的外接球的体积．
【解】
如图，作底面
于
，则
为正
的中心．
因为底面
，所以
、
、
三点共线
因为，
.
所以
所以
设，作
于
，
在中，因为
，
又，所以
，
在中，
，
所以．
【总结】解决与球有关的接、切问题时，一般作一个适当的截面，将问题转化为平面问题解决，这类截面通常指圆锥的轴截面、球的大圆、多面体的对角面等，在这个截面中应包括每个几何体的主要元素，且这个截面必须能反映出体和体之间的主要位置关系和数量关系．求球半径，是解本题的关键．
【例2】、正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为，底面边长为
，则该球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D． 【
【答案】A
【解析】
如图所示，设底面的中心为
，
则是正四棱锥
的高，
，
，
，
设球心为，则
一定在线段
上，连接
，
设球的半径为，在
中，
，即
解得，
所以
故选A.
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