最短路径

迪杰斯特拉　Dijkstra

思路: 它应用了贪心算法模式，算法解决的是有向图中单个源点到其他顶点的最短路径问题．引进两个集合S和T。S的作用是记录已求出最短路径的顶点(以及相应的最短路径长度)，而T则是记录还未求出最短路径的顶点(以及该顶点到起点s的距离)。

初始时，S中只有起点v0；T中是除v0之外的顶点，并且T中顶点的路径是”起点s到该顶点的路径”。从T中选择一个到v0最短的顶点vi并加入到S中.如果T集合中的结点以vi作为中转站到达s的距离比原来的小则更新对应的值.依次迭代，直到将T中的所有结点加入S中．

算法复杂度　ElogV

例题甩一道加深理解

Problem Description

在每年的校赛里，所有进入决赛的同学都会获得一件很漂亮的t-shirt。但是每当我们的工作人员把上百件的衣服从商店运回到赛场的时候，却是非常累的！所以现在他们想要寻找最短的从商店到赛场的路线，你可以帮助他们吗？

Input

输入包括多组数据。每组数据第一行是两个整数N、M（N<=100，M<=10000），N表示成都的大街上有几个路口，标号为1的路口是商店所在地，标号为N的路口是赛场所在地，M则表示在成都有几条路。N=M=0表示输入结束。接下来M行，每行包括3个整数A，B，C（1<=A,B<=N,1<=C<=1000）,表示在路口A与路口B之间有一条路，我们的工作人员需要C分钟的时间走过这条路。
输入保证至少存在1条商店到赛场的路线。

IOutput

对于每组输入，输出一行，表示工作人员从商店走到赛场的最短时间

ISample Input

2 1
1 2 3
3 3
1 2 5
2 3 5
3 1 2
0 0

ISample Output

3
2

题解，迪杰斯特拉　Dijkstra典型应用，不多bb，代码见

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
int map[105][105];
#define xx 0x3f3f3f3f
#define xi
int dis[1008];
int vis[1008];
int main()
{
    int N,M;int c,d,e;
    while(cin>>N>>M){
        if(N==0&&M==0) break;
        for(int a=1;a<=N;a++)
            for(int b=1;b<=a;b++)//输入前预处理，表示所有的路都是一个很大的数
            {
                map[a][b]=map[b][a]=xx;
                if(a==b) map[a][b]=map[b][a]=0;
            }
        for(int a=1;a<=M;a++){
              cin>>c>>d>>e;
              map[c][d]=map[d][c]=e;
        }
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        for(int a=1;a<=N;a++)//从1节点到其他路径的当前最短路
            dis[a]=xx;
        queue<int> q;/入队列
        q.push(1);
        vis[1]=1;//标记下
        dis[1]=0;
        while(!q.empty()){
            int u=q.front();
            q.pop();
            for(int a=1;a<=N;a++)
            if(dis[a]>dis[u]+map[u][a])//判断有没有目前到其他路的值是否比到底u然后在从到u到a大，如果大，就更新
            {
                dis[a]=dis[u]+map[u][a];
                if(vis[a]==0)//队列没有就加入队列等待下一次更新
                {
                    q.push(a);vis[a]=1;
                }
            }
            vis[u]=0;//这步不能缺，是判断可能因为其他节点的加入造成有可能有更短的路径。
        }
        cout<<dis[N]<<endl;
    }
    return 0;
}

弗洛伊德　Floyed

是采用动态规划的思想计算任意两个结点之间的最短路径.

1) 初始化距离矩阵，对于所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。

2，对于每一对顶点 u 和 v，看看其他结点中否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比已知的路径更短。如果是更新它。

应用：
在网络中

时间复杂度O(V^3)。

这个算法很暴力，无脑想的感觉，下面是我从一个地方搞来的Java代码例子

public class Floyed {
    private final int INF = Integer.MAX_VALUE;
    /**
     * 弗洛伊德算法
     * @param matrix
     */
    public void Floyd(int[][] matrix) {
        int[][] path = new int[matrix.length][matrix[0].length];
        int[][] dist = new int[matrix.length][matrix[0].length];
        int size = matrix.length;
        //初始化
        for (int i = 0; i < size; i++) {
            for (int j = 0; j < size; j++) {
                path[i][j] = -1;
                dist[i][j] = matrix[i][j];
            }
        }
        for (int k = 0; k < size; k++) {
            for (int i = 0; i < size; i++) {
                for (int j = 0; j < size; j++) {
                    if (dist[i][k] != INF && dist[k][j] != INF && dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j]) {
                        dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];
                        path[i][j] = k;
                    }
                }
            }
        }
    }
}