我相信大家对欧式几何这几个字非常的熟悉,但是很多时候没有深刻的了解他之前,都不知道他和测量性的几何有什么区别,其实他们的区别就是欧式几何必须要用严格的推理证明,任何情况都要写出因为所以而不能直接凭表象,凭感觉或者用经验,在欧式几何中,因为的简写是这样的:∵所以的简写是这样的:∴,
那看上去就是一堆点组合出来的欧式几何到底有什么魅力呢?欧式几何是有很大的魅力的(全文为证明)
那我们现在就试着用欧式几何的方式来思考所有的问题,也就是严谨的逻辑,然后再来一步一步发现欧式几何的魅力。比如说我们通过欧式几何研究一下,非常非常经典的三线八角问题:
为什么这种题叫做三线八角呢?因为它是用三条线组成的,并且有明显的八个角,我们已知直线a∥b,然后另外一条直线截了ab,现在我们先观察一下,得出了很多的猜想,比如说从肉眼看上去<1=<2,<3好像=<4,并且<6=<5=<8=<7,那么我们现在就来看一看
最开始我想到了一种证明的方法,就是过他的两个交点,做一个矩形,就像下图:
(我们姑且先把<4的一部分命名为<9)
然后中间的那一条线就把另一个矩型平均分成了两个一模一样的直角三角形,所以我们就知道不是直角的那两个角加起来等于90度,然后这一个矩型的每一个角也是90度,所以<9+<5就能确定是90度,因为他正好是那个长方形的一个角,而<4的一部分,加上<8也正好是90度,因为他们处在一个直角三角形里的不是直角的那两个角,三角形的内角和一共有180度,减去90度那么剩下的两个角肯定加起来也是90度,因为内角和只剩下90度了,所以既然<8+<4的一部分=<5+<4的一部分,那么我们就可以完美的说<5=<8,因为<4的那一部分是固定的,而180度减去<4的那一部分当然也是固定的
用推理证明公式写出来就是:
∵<5+<9=90,<8+<9=90
∴<5=<8
证毕
从这里我相信会有一个非常直观的感受,很明显的就能知道推理证明公式简直比常常的语言简单又明了太多了,两行搞定,用文字解释清楚,却要那么多,而且逻辑还不一定非常的清晰,这就是欧式几何的优势啊!
但是虽然这个推理这个公式是挺好的,可是我们在图上画出来的那一个长方形,并不能严格的推理证明他就是一个长方形,所以我们所有的逻辑都是不对的了,那既然这样,为什么我还要把这一个说出来呢?因为它可以帮助我们明白什么是欧式几何,长方形没有严格的逻辑来证明,就不能说它是长方形,这就是欧式几何的严格推理证明
但是整个欧式几何的推理证明就像是盖楼一样,首先必须得有地基,然后再建所有的楼层,如果最开始就没有一个能够认定的,那么我们就什么也推理证明不出来,所以我们得有少量的公理,这些没有办法证明实在证明不了,所以必须得用大量的实验来得出一个共识,他就是通过经验证明的,或者说是不证自明的。但是公理肯定是要越少越好的,是真的没有办法证明了才可以,要不然的话,见到一个题根本不用证明他直接定为公理就OK了,那样的话,还有什么意思呢?
那么接下来我有了这一条,我们再推断出更多的关于三线八角这种题的关系吧!比如说首先,在这里我要再强调一个规律,就是两条直线相交,对顶角相等:
在这里我们能看出来<1和<2都在一个平角上,他们都在一条直线上,所以我们知道他们的角度和是一个平角,也就是180度,用数学语言说,就是他们互补,而<2和<3也在一条直线上,他们也互补,又出现了之前的状况,<1和<3+<2都是180度,所以<1=<3
∵<1+<2=180度,<2+<3=180度
∴<1=<3
证毕
那么从这个我们就可以知道<1等于<4,就在三线八角的图上,我们就可以通过我们已经定论的公理也就是同位角相等,直接知道<1=<2,而<1也=<4!通过这样的方案我们可以证明所有内错角全都相等!(内错角很多,我就不在这里一个一个写公式了,因为道理是一样的)所以我们就又得出来了,一个新的结论(⊙o⊙)!,这个被称作内错角相等,这是一个定理,通过逻辑推断出来的,是严格的推理证明出来的,在之后证明别的的时候,我们也可以直接用到这些定理。
比如说我们再观察一下, 用肉眼看一下,感觉<2+<5=180度,接下来我们就该直接使用严格的推理证明来证明了,其实这个我们就可以直接运用内错角相等,判断出<8=<5,然后我们又知道<2+<8=180度,所以<2+<5=180度,于是我们又创造了一个定理,也就是同旁内角加起来等于180度
证毕
那么接下来再推断出这一些之后,我们就不再局限于这一道题这一张图了,我们可以用它证明一下,我们之前通过实验和测量得出来的几何结果,比如说正方形,我们可以证明出它的内角和:
我们先用c和d这两条平行线,让a把他们截了,然后利用同旁内角加起来等于180度得到<1+<2=180度,<3和<4自然也是同理,于是我们就能非常明白的知道正方形的内角和就是360度了
证毕
用这一招算三角形的内角和也非常的简便:
我们直接把三角形的一条斜着的边当成那一条斜线就好了,然后我们就会发现<2通过内错角上等就可以,非常明白的知道它等于从<3靠右的那一条边,一直到上面的那条平行线的角度,<1也是同理,只不过是<3靠左的那一条线,一直到上面的平行线组成的角度,我们在图上可以很明显地看出来它们的和就是180度,<1<2和他们之后等同的位置本来就相等,所以三角形的那找和就是180度
证毕
这就是严谨的推理证明的逻辑吧!没下推理出来,你都会发现原来这么简单,这么神奇,这么简便,这么直白,这就是欧式几何的魅力
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