Dirichlet分布（Dirichelt Distribution）和Dirichlet过程 （Dirichlet Process）广泛应用于信息检索、自然语言处理等领域，是理解主题模型的重要一步。而且它作为一种非参数模型（non-paramatric model），和非参数模型一样有着越来越广泛的应用空间。

文本提供了一种对Dirichlet 过程的理解。本文适合了解高斯过程，对Dirichlet过程有一定了解，但又有些困惑的同学。希望读完这篇文章能进一步提升对Dirichlet的理解。

随机过程

粗略地说，随机过程是概率分布的扩展。我们一般讲概率分布，是有限维的随机变量的概率分布，而随机过程所研究的对象是无限维的。因此，也把随机过程所研究的对象称作随机函数。

随机变量之于概率分布，就像随机函数之于随机过程。

机器学习领域常见的随机过程有：Gaussian Process, Dirichlet Process, Beta Process, Gamma Process等等。

高斯过程

理解Dirichlet过程，可以类比高斯过程。高斯过程（GP）是定义在函数上的概率分布。

这里的f(x)被称作随机函数，每一个x对应的f(x)都是一个随机变量，可以将这个随机函数看做是多维随机变量的扩展。由于我们一般考虑的函数的定义域都包含无限个自变量（如定义域为实数域），无法显式地写出其联合概率密度函数，因普通的多维随机变量的定义无法表示高斯过程的定义。

所以，一般的随机过程包括高斯过程，都是通过一个边缘概率密度函数(f(x1), f(x2), ..., f(xn))来定义的。

这相当于我们无法一次看完一个无限的东西，所以想了个办法，对它的局部照相。对于任何局部(x1, x2, ..., xn)，我们都有一个相片(f(x1), f(x2), ..., f(xn))。这里，均值m和协方差c唯一地决定一个GP。

Dirichlet分布

Dirichlet分布是定义在K维概率单纯形（K-dimentional probability simplex）上的分布。

K维概率单纯形，说的好像很复杂，其实就是和为1，因此可以将pi看作是一个概率分布。

Dirichlet分布的概率密度函数是

Dirichlet有很多优美的性质，比如将这里的随机变量的元素拆分或者合并，结果还是服从Dirichelt分布。如下

Dirichlet过程

Dirichlet过程（DP）是定义在概率测度上的分布。

概率测度也就是概率，它是定义在样本空间的sigam域上的函数，满足一定的性质。样本空间就是我们要研究的空间 ，比如主题模型中所有的词构成的空间就是我们的样本空间。sigma域也很简单，就是该空间的所有的子集构成的空间。对于有n个元素的样本空间 ，它的sigma域有2^n个元素。这里的“满足一定的性质”，主要指可列可加性。通俗地说，即一些不相交集合的并的概率等于对每个集合的概率作和。

和GP类似，我们无法显式地定义DP。那只能对DP的局部“照相”。如何照相呢？

设G是一个随机概率测度，对样本空间做一个划分（A1, A2, ..., Ak），（G(A1), G(A2), ..., G(Ak)）就可以看做一张相片。这里的 G(A1), G(A2), ..., G(Ak)也是一个多维随机变量，和高斯过程中的f(x1), f(x2), ..., f(xn)相当。而且由于G是概率测度，我们还能得出G(A1)+G(A2)+...+G(Ak)=1，即一个划分和一个概率测度唯一地决定了一个概率分布。

如果对样本空间的任意一个划分（A1, A2, ..., Ak），都有（G(A1), G(A2), ..., G(Ak)）满足Dirichlet分布。那么我们称G是一个Dirichlet过程。

记为

H是一个基分布（base distribution），可以看做G的期望；alpha是系数，可以看做G的方差的“倒数”。

参考文献

https://www.stats.ox.ac.uk/~teh/teaching/npbayes/mlss2007.pdf