2022-02-21-01
(来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 习题二 P097 习题28)
设为给定的正整数,数列
的每一项都是正整数,且对任意正整数
,都有
.
证明:存在无穷多对正整数,使得
,且
.
证明
先证:存在一对正整数,使得
,且
.考察下列数表
这里,
,
.而
,
.
上述数表中,每一行都是连续个正整数,每一列中任意两个数
、
,若
,则
.
依条件,每一行中都有中至少两个数,因此,表格中有至少
个数为数列
中的项,从而表格中有一列中有两个数在
中,记为
,
,
,则
.
现在将取为
,同上构造同样性质的表格,即可找到下一对
,
,使
.依次递推,即可找到无穷多对
,使
,且
.
命题获证.
2022-02-21-02
(来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 习题二 P097 习题29)
设是一个由非负整数组成的集合,用
表示满足下述条件的有序数对
的对数
、
,
,且
.
问:能否将非负整数集分划为两个集合、
,使得对任意非负整数
,都有
?
解
存在这样的分划.令;
.我们说
、
是符合条件的分划.
下面证明:对任意,都有
.
对的二进制表示中的位数
归纳来证明.
当时,注意到
可知
成立.
现设对位数不超过的
,
都成立.考察
位的正整数
,对可能的等式
,
,
(当
时类似讨论),分三种情形讨论.
情形一:若右起第
位为1,则
右起第
位必为0.考察这两个数右起的第1至第
位,其中
有奇数个1,而
有偶数个1,令
,
,那么
与
都有奇数个1,并且
,
,
.反过来,当
、
时,亦有
、
.故这部分两个集合中的表示方法数相同.
情形二:若、
右起第
位都为0,而右起第
位都为1,同上讨论,可知
,
.故
构成
中对
的一个表示.反过来,当
、
时,
构成
中对
的一个表示利用
(归纳假设),可知这部分两个集合中的表示方法数亦相同.
情形三若,
右起第
位都为0,右起第
位不全为1,这时
右起第
位为1,而
右起第
位为0.此时考察两数右起第1位至
位中1的个数,
中有奇数个,
中有偶数个.令
,
.同情形一可知,这部分两个集合中的表示方法数相同.
综上可知,对位数
,亦有
.所以,
、
符合.
2022-02-21-03
(来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 习题二 P097 习题30)
证明:任何一个大于1的整数都可以表示为符合下述条件的有限个正整数的和的形式:
(1)每个加项的素因数都是2或3;
(2)任意两个加项中没有一个是另一个的倍数.
证明
设能表示的数构成的集合为,令
,并记
中3的幂次不超过
的元素构成的集合为
,
,则下面的结论显然成立.
(1),
.这里
.
(2)若,则
.这里
.
下面用数学归纳法证明:对任意,都有
.
“”由
的定义可知是成立的.若对任意
,
,均有
,考虑
的情形.
情形一:若,则
,于是
;
情形二:若,则
,于是
;
情形三:若,且
,则存在
,使
.这时,
,
.
从而.
所以命题成立.
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