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数列的通项与求和

数列的通项与求和

作者: 不为竞赛学奥数 | 来源:发表于2022-01-05 09:39 被阅读0次

按一定次序排列的一列数称为数列,其中的每一个数都叫这个数列的项,依次叫做该数列的第一项(或称为首项),第二项,\cdots,第n项,\cdots.

数列的一般形式可写为

a_{1},a_{2},\cdots,a_{n},\cdots.

简记为\left\{a_{n}\right\}.如果\left\{a_{n}\right\}的第n项a_{n}可以用n的代数式表示,那么这个公式就称为此数列的通项公式.

由数列的上述定义,可知数列在本质上是定义在正整数集上的一个函数.相关的问题中,求数列的通项公式及前n项之和的公式是最基本、最常见的.

用S_{n}表示数列\left\{a_{n}\right\}的前n项之和,那么它与通项之间有如下的关系

a_{1}=S_{1};a_{n}=S_{n}-S_{n-1},n=2,3,\cdots.

为表述与讨论方便,我们引入下面的一些概念:

如果一个数列的项数是有限的,那么称它为有穷数列,否则称它为无穷数列.

数列\left\{a_{n}\right\}如果满足:对任意n\in \mathbb{N}^{*},都有a_{n}<\cdots<a_{n+1}(或者a_{n}>a_{n+1}),那么称它为递增(或者递减)数列;如果只是a_{n}\leqslant a_{n+1}(或者a_{n}\geqslant a_{n+1}),那么称它为不减(或者不增)数列.

如果存在常数M,使得对任意n\in \mathbb{N}^{*},都有\left|a_{n}\right|\leqslant M,那么实数数列称\left\{a_{n}\right\}为有界数列.

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