数列的通项与求和

作者: 天目春辉 | 来源:发表于2022-01-05 09:39 被阅读0次

按一定次序排列的一列数称为数列,其中的每一个数都叫这个数列的项,依次叫做该数列的第一项(或称为首项),第二项, $\cdots$ ,第 $n$ 项, $\cdots$ .

数列的一般形式可写为

$a_{1},a_{2},\cdots,a_{n},\cdots.$

简记为 $\left\{a_{n}\right\}$ .如果 $\left\{a_{n}\right\}$ 的第 $n$ 项 $a_{n}$ 可以用 $n$ 的代数式表示,那么这个公式就称为此数列的通项公式.

由数列的上述定义,可知数列在本质上是定义在正整数集上的一个函数.相关的问题中,求数列的通项公式及前 $n$ 项之和的公式是最基本、最常见的.

用 $S_{n}$ 表示数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项之和,那么它与通项之间有如下的关系

$a_{1}=S_{1};a_{n}=S_{n}-S_{n-1},n=2,3,\cdots.$

为表述与讨论方便,我们引入下面的一些概念:

如果一个数列的项数是有限的,那么称它为有穷数列,否则称它为无穷数列.

数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 如果满足:对任意 $n\in \mathbb{N}^{*}$ ,都有 $a_{n}<\cdots<a_{n+1}$ (或者 $a_{n}>a_{n+1}$ ),那么称它为递增(或者递减)数列;如果只是 $a_{n}\leqslant a_{n+1}$ (或者 $a_{n}\geqslant a_{n+1}$ ),那么称它为不减(或者不增)数列.