01行列式

一、行列式的基本概念

二阶行列式的计算规则
三阶行列式的计算-主对角线-副对角线

二、全排列与逆序数

123，全排列的可能是 6 种，
n个数，第一个位置 n种可能， 第二个n-2种， 所以n个数全排列为n！

21称为逆序， 逆序数字的对数称为逆序数。
序列中，对换两个数字的位置，逆序数的奇偶性会发生改变。

求32514逆序数 = 1 1 + 1 + 1 1 = 5

三、n阶行列式

选择1- n不同行，不同列的元素求和
(-1)^ta_1x1a_1x2...a_nxn
其中t = x1x2x3x4...xn的逆序数

选择1-n不同列不同列的元素求和
(-1)^ta_x11a_x22...a_nxn
其中t = x1x2x3x4...xn的逆序数
逆序数决定其符号不用再考虑加减， 全是求和了。

三（1）对角矩阵的计算

• 主对角线情形

  
  主对角线
  

  第一行选择x1, 第二行x2， 都不选择为0的，因为一个为零整个单项就为0， 单项不为零的项，只有一个就是 x1x2....xn 所对用的符号是
  t(12345...n) = 0 ，符号位正。

• 副对角线

  
  副对角线

符号位t(n...321)
我们知道t(321) = 2 + 1，那么 t(n....21)= n-1+n-2....3+2+1 = n(n-1)/2

习题：

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同理， 选a11之后 就只能选 a22， 所以 答案是 a11a22...ann 符号和之前一样是自然的序列，为零 为正。

四、行列式的性质

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转置：T表示， 原来的行按照顺序变为列

性质一： 行列式和它的转置行列式值相等

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转了后我们观察， 267这一项， 符号t(312) 与之前t(231)都是2， 符号未变， 其他也一样， 可以简单观察出这个规律。

性质二： 互换行列式的两行(列)，行列式会变号
也可以从某一项分析， 行的改变， 会导致计算逆序数的数字对交换位置， 交换后奇偶改变， 符号改变。
推论：行列式中两行相同行列式为0， 因为交换后D=-D， 交换后变为负数， 并且原来的值也不变。

性质三：k乘行列式， 等于k乘行列式的某一行或者某一列的每个数字。
性质四：行列式两行（列）成比例， 行列式值为0。
性质五：行列式 a + b 的展开，每行都可以拆分，拆分为两个。

行列式的计算
行列式的计算过程中， 不要使用减法， 乘上-1加到某一行， 化为三角矩阵。
行列式的拆分
a⁴
等于对角线行列式的乘积 对调的解法不是很明白

五、行列式的按行展开

余子式， Mij 表示去掉行列式中i行j列剩下的这个行列式，就是行列式。
代数余子式， Aij = （-1）^i+jM_ij
行列式的值就是 = a11A11+a12A12+.....a1n*A1n

范德蒙德行列式

范德蒙德行列式 image.png

特点，第一行全是1， 第二行是数字本身，各不相同， 然后最后是数字的n-1次方。

行列式的值就是自己本行的数字乘以本行的余子式。
其中系数就是余子式所在行的数字， 如果另一行的数字乘以当前行余子式，行列式的值为0， 因为两行数字相同了。

余子式与代数余子式的理解

六、 克拉默法则

克拉默法则公式

习题安排
一、计算题

image.png image.png

范德蒙德行列式的证明：

范德蒙德证明实践

克拉默法则考察

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不熟悉知识掌握：

• 范德蒙德行列式的证明
• 克拉默法则未知数情况分析