真实的繁花曲线使用一种称为繁花曲线规的小玩意绘制，繁花曲线规由相互契合大小两个圆组成，用笔插在小圆上的一个孔中，紧贴大圆的内壁滚动，就可以绘制出漂亮的图案。这个过程可以做一个抽象：有两个半径不相等的圆，大圆位置固定，小圆在大圆内部，小圆紧贴着大圆内壁滚动，求小圆上的某一点走过的轨迹。
进一步分析，小圆的运动可以分解为两个部分：小圆圆心绕大圆圆心公转、小圆绕自身圆心自转。设大圆圆心为A，半径为Ra，小圆圆心为B，半径为Rb，轨迹点为C，半径为Rc(BC距离)，设小圆公转的弧度为θ [0,∞)，如图：
因为大圆的圆心坐标是固定的，要求得小圆上的某点的轨迹，需要先求出小圆当前时刻的圆心坐标，再求出小圆自转的弧度，最后求出小圆上某点的坐标。
第一步：求小圆圆心坐标
小圆圆心的公转轨迹是一个半径为 RA- RB 的圆，求小圆圆心坐标，相当于是求半径为 RA- RB 的圆上θ 弧度对应的点的坐标。
圆上的点的坐标公式为：
x = r * cos(θ), y = r * sin(θ)
小圆圆心坐标为：( xa+ (Ra - Rb) * cos(θ), ya + (Ra - Rb) * sin(θ) )
第二步：求小圆自转弧度
设小圆自转弧度为α，小圆紧贴大圆运动，两者走过的路程相同，因此有：
Ra *θ = Rb *α
小圆自转弧度α = (Ra / Rb) *θ
第三步：求点C坐标
点C相对小圆圆心B的公转轨迹是一个半径为 Rc 的圆，类似第一步，有：
轨迹点C的坐标为：( xa+ Rc* cos(θ), ya+ Rc* sin(θ))
按照以上算法分析，用python代码实现如下：
# -*- coding: utf-8 -*-
import math
'''
功能：
已知圆的圆心和半径，获取某弧度对应的圆上点的坐标
入参：
center：圆心
radius：半径
radian：弧度
'''
def get_point_in_circle(center, radius, radian):
return (center[0] + radius * math.cos(radian), center[1] - radius * math.sin(radian))
'''
功能：
内外圆A和B，内圆A沿着外圆B的内圈滚动，已知外圆圆心、半径，已知内圆半径，已知公转弧度和绕点半径，计算绕点坐标
入参：
center_A：外圆圆心
radius_A：外圆半径
radius_B：内圆半径
radius_C：绕点半径
radian：公转弧度
'''
def get_point_in_child_circle(center_A, radius_A, radius_B, radius_C, radian):
# 计算内圆圆心坐标
center_B = get_point_in_circle(center_A, radius_A - radius_B, radian)
# 计算绕点弧度（公转为逆时针，则自转为顺时针）
radian_C = 2.0*math.pi - ((radius_A / radius_B * radian) % (2.0*math.pi))
# 计算绕点坐标
return get_point_in_circle(center_B, radius_C, radian_C)
有两点需要注意：
（1）屏幕坐标系左上角为原点，垂直向下为Y正轴，与数学坐标系Y轴方向相反，所以第14行Y坐标为减法；
（2）默认公转为逆时针，则自转为顺时针，所以第30行求自转弧度时，使用了2π - α%(2π)；
坐标已经计算出来，接下来使用pygame绘制。思想是以0.01弧度为一个步长，不断计算出新的坐标，把一系列坐标连起来就会形成轨迹图。
为了能够形成一个封闭图形，还需要知道绘制点什么时候会重新回到起点。想了一个办法，以X轴正半轴为基准线，每次绘制点到达基准线，计算此时绘制点与起点的距离，达到一定精度认为已经回到起点，形成封闭图形。
''' 计算两点距离（平方和） '''
def get_instance(p1, p2):
return (p1[0] - p2[0]) * (p1[0] - p2[0]) + (p1[1] - p2[1]) * (p1[1] - p2[1])
'''
功能：
获取绕点路径的所有点的坐标
入参：
center：外圆圆心
radius_A：外圆半径
radius_B：内圆半径
radius_C：绕点半径
shift_radian：每次偏移的弧度，默认0.01，值越小，精度越高，计算量越大
'''
def get_points(center, radius_A, radius_B, radius_C, shift_radian=0.01):
# 转为实数
radius_A *= 1.0
radius_B *= 1.0
radius_C *= 1.0
P2 = 2*math.pi # 一圈的弧度为 2PI
R_PER_ROUND = int(P2/shift_radian/4) + 1 # 一圈需要走多少步（弧度偏移多少次）
# 第一圈的起点坐标
start_point = get_point_in_child_circle(center, radius_A, radius_B, radius_C, 0)
points = [start_point]
# 第一圈的路径坐标
for r in range(1, R_PER_ROUND):
points.append(get_point_in_child_circle(center, radius_A, radius_B, radius_C, shift_radian*r))
# 以圈为单位，每圈的起始弧度为 2PI*round，某圈的起点坐标与第一圈的起点坐标距离在一定范围内，认为路径结束
for round in range(1, 100):
s_radian = round*P2
s_point = get_point_in_child_circle(center, radius_A, radius_B, radius_C, s_radian)
if get_instance(s_point, start_point) < 0.1:
break
points.append(s_point)
for r in range(1, R_PER_ROUND):
points.append(get_point_in_child_circle(center, radius_A, radius_B, radius_C, s_radian + shift_radian*r))
return points
再加上绘制代码，完整代码如下：
# -*- coding: utf-8 -*-
import math
import random
'''
功能：
已知圆的圆心和半径，获取某弧度对应的圆上点的坐标
入参：
center：圆心
radius：半径
radian：弧度
'''
def get_point_in_circle(center, radius, radian):
return (center[0] + radius * math.cos(radian), center[1] - radius * math.sin(radian))
'''
功能：
内外圆A和B，内圆A沿着外圆B的内圈滚动，已知外圆圆心、半径，已知内圆半径、公转弧度，已知绕点半径，计算绕点坐标
入参：
center_A：外圆圆心
radius_A：外圆半径
radius_B：内圆半径
radius_C：绕点半径
radian：公转弧度
'''
def get_point_in_child_circle(center_A, radius_A, radius_B, radius_C, radian):
# 计算内圆圆心坐标
center_B = get_point_in_circle(center_A, radius_A - radius_B, radian)
# 计算绕点弧度（公转为逆时针，则自转为顺时针）
radian_C = 2.0*math.pi - ((radius_A / radius_B * radian) % (2.0*math.pi))
# 计算绕点坐标
center_C = get_point_in_circle(center_B, radius_C, radian_C)
center_B_Int = (int(center_B[0]), int(center_B[1]))
return center_B_Int, center_C
''' 计算两点距离（平方和） '''
def get_instance(p1, p2):
return (p1[0] - p2[0]) * (p1[0] - p2[0]) + (p1[1] - p2[1]) * (p1[1] - p2[1])
'''
功能：
获取绕点路径的所有点的坐标
入参：
center：外圆圆心
radius_A：外圆半径
radius_B：内圆半径
radius_C：绕点半径
shift_radian：每次偏移的弧度，默认0.01，值越小，精度越高，计算量越大
'''
def get_points(center_A, radius_A, radius_B, radius_C, shift_radian=0.01):
# 转为实数
radius_A *= 1.0
radius_B *= 1.0
radius_C *= 1.0
P2 = 2*math.pi # 一圈的弧度为 2PI
R_PER_ROUND = int(P2/shift_radian) + 1 # 一圈需要走多少步（弧度偏移多少次）
# 第一圈的起点坐标
start_center, start_point = get_point_in_child_circle(center_A, radius_A, radius_B, radius_C, 0)
points = [start_point]
centers = [start_center]
# 第一圈的路径坐标
for r in range(1, R_PER_ROUND):
center, point = get_point_in_child_circle(center_A, radius_A, radius_B, radius_C, shift_radian*r)
points.append(point)
centers.append(center)
# 以圈为单位，每圈的起始弧度为 2PI*round，某圈的起点坐标与第一圈的起点坐标距离在一定范围内，认为路径结束
for round in range(1, 100):
s_radian = round*P2
s_center, s_point = get_point_in_child_circle(center_A, radius_A, radius_B, radius_C, s_radian)
if get_instance(s_point, start_point) < 0.1:
break
points.append(s_point)
centers.append(s_center)
for r in range(1, R_PER_ROUND):
center, point = get_point_in_child_circle(center_A, radius_A, radius_B, radius_C, s_radian + shift_radian*r)
points.append(point)
centers.append(center)
print(len(points)/R_PER_ROUND)
return centers, points
import pygame
from pygame.locals import *
pygame.init()
screen = pygame.display.set_mode((600, 400))
clock = pygame.time.Clock()
color_black = (0, 0, 0)
color_white = (255, 255, 255)
color_red = (255, 0, 0)
color_yello = (255, 255, 0)
center = (300, 200)
radius_A = 150
radius_B = 110
radius_C = 50
test_centers, test_points = get_points(center, radius_A, radius_B, radius_C)
test_idx = 2
draw_point_num_per_tti = 5
while True:
for event in pygame.event.get():
if event.type==pygame.QUIT:
pygame.quit()
exit(0)
screen.fill(color_white)
pygame.draw.circle(screen, color_black, center, int(radius_A), 2)
if test_idx <= len(test_points):
pygame.draw.aalines(screen, (0, 0, 255), False, test_points[:test_idx], 1)
if test_idx < len(test_centers):
pygame.draw.circle(screen, color_black, test_centers[test_idx], int(radius_B), 1)
pygame.draw.aaline(screen, color_black, test_centers[test_idx], test_points[test_idx], 1)
test_idx = min(test_idx + draw_point_num_per_tti, len(test_points))
clock.tick(50)
pygame.display.flip()
效果：
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