最近看了一些 C 语言相关的文章，复习了一些二级制运算相关的知识点，记录一下。
内存中的数据存取与运算是通过硅半导体来实现的，即可以简单理解为内存由无数个二进制单元(即一个比特，bit)构成。但在实际写代码进行运算中，很少有数据可以直接用一个0 或者1，比如true或false来表示，所以通常由内存中 8 个 bit 构成一个 byte 来表示内存的一个最小基本存储单位。
printf("size of int is %lu bytes.\n", sizeof(int));
//输出：size of int is 4 bytes.
执行上述语句，可以知道当前环境int类型在内存中占用 4 个 byte，即大小为 4*8 = 32 bit。在不考虑正负性的情况下，理论上一个int类型可以存储0~2^32之间数值。而通常情况下，为了考虑符号，每个int类型的第一个二进制位填充0代表正整数，1代表负整数，因此int类型的值范围是 - 2^31 ~ 2^31-1。
真值与源码
真值，即数值的二进制数值。
原码，即在真值的最高位补上0（表示正整数，结果与真值相同）或1（表示负整数）表示符号。
比如值为 -8 的int类型的原码为：10000000 00000000 00000000 00001000，值为 16 的int类型的原码为00000000 00000000 00000000 00010000。
为了方便后续描述，将数值的int长度缩小为一个字节（即 8 bit）。
比如用原码计算16 + (-8)则表示为：
０００１００００
＋１０００１０００
－－－－－－－－－
１００１１０００
可以看到，如果计算机按照上述的加法规则，就会得到10011000的结果，转成十进制就是 -24。显然，这是错误的答案。
补码的思想
我们希望只设计加法运算器，不用减法运算器，即找到一种通用方案，采用该方案计算1 - 1 ，可以直接根据二进制的加法规则计算1 + (-1)得到 0，而不必考虑如何做二进制减法。然而利用原码对16 + (-8)进行二进制加法运算发现，用原码来表示负整数依然行不通。
现在问题来了：如何用二级制来表示负整数呢？简化一下，即00000001加上什么样的二进制数 X 可以得到00000000？
从右向左思考，X 最低位必须是 1，根据二进制加法规则：1 + 1 = 0，进位为 1。再考虑次低位，X 的次低位也必须是 1，然后加上 1 得 0 进一位...，依次类推，X 的所有位数都必须都是 1，才可以得到00000000，即：
００００００００
＋１１１１１１１１
－－－－－－－－－
１００００００００
这在数学上是不可接受的，但是在计算机中却刚好合适，因为在计算机设计中，int 类型长度是确定的，所以无论结果最后是多少位，多余的位会被丢弃，即最终计算结果为00000000 = 十进制 0（我们上述为了方便，int 假设为 8 位），这也是我们预期的结果：1 + (-1) = 0。
因此，问题转化为如何合理地将 -1 变成二级制11111111。
反码与补码
带符号整数有原码、反码、补码等几种表示方式，反码和补码是对原码进行某种转换后得到的二进制表示。
正整数的原码、反码和补码都一样。
负数的反码是对原码的除符号位外的其他位进行取反后的结果（取反即如果该位为 0 则变为 1， 而该位为 1 则变为 0 的操作）；负数的补码是先求其原码的反码，然后在反码的末尾位加 1 后得到的结果，即负数补码是其反码 + 1。
用补码计算16 + (-8)则表示为：
０００１００００
＋１１１１１０００
－－－－－－－－－
１００００１０００
最终结果是00001000 = 十进制 8（去掉超出长度的高位）。由此看出，补码就是我们想要的解决方案，利用补码来进行二进制加法运算可以实现加减法用同一种电路 - 与门来计算。
补码的本质
要将正数转成对应的负数，其实只要用 0 减去这个数就可以了。比如，-8其实就是 0 - 8。
已知8的二进制是00001000，-8就可以用下面的式子求出：
００００００００
－００００１０００
－－－－－－－－－
因为00000000（被减数）小于00001000（减数），所以不够减。请回忆一下小学算术，如果被减数的某一位小于减数，我们怎么办？很简单，问上一位借 1 就可以了。
所以，0000000也问上一位借了 1，也就是说，被减数其实是100000000，算式也就改写成：
１００００００００
－００００１０００
－－－－－－－－－
１１１１１０００
进一步观察，可以发现100000000 = 11111111 + 1，所以上面的式子可以拆成两个：
１１１１１１１１
－００００１０００
－－－－－－－－－
１１１１０１１１
＋０００００００１
－－－－－－－－－
１１１１１０００
上述通过计算 0 - 8 得到的11111000。
按照补码的定义，对 -8 的原码10001000取反得到反码11110111加 1 最终得到补码10001000，与我们上述计算结果一致，证明补码就是我们想要的二进制数值表示方案。因此，数值在计算机中一律用补码表示和存储，在计算时可以化减为加，只做加法计算。
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