"在一个孤立系统中，熵值总在增大，是上帝之手在操纵，还是小妖工作的懈怠?"
上篇文章关于热二定律的表述中说，在孤立系统中，任何在宏观上发生的有热量传输的实际过程，总是朝着熵增大的方向进行。这就给当时的物理学家提出了一个问题：为什么在一个孤立系统中熵值总是在增大呢？
要回答这个问题，有必要对有些概念作些介绍，为回答上述问题作准备。
01 准备
首先，对“孤立系统”作一些解释。
上篇文章已提到，与外界没有相互作用的系统就是一个“孤立系统”，这里再对这一概念做些较详细的介绍。
“孤立系统”是热力学系统中的一种，热力学系统是由数量很大的分子、原子等构成的系统。这里的“数量很大”大体上是这样一个数量级：比如在标准条件（00C，一个大气压）下，一立方厘米气体就约有1019个分子；1mol气体的分子数就有6×1023个，与此数量级相当的微观粒子构成气体（比如空气）、液体（比如水蒸气）、固体（比如蒸汽机）的系统就是一个热力学系统，若这个系统与外界无相互作用，即与外界没有能量与物质的交换，系统的能量、体积和粒子数都固定不变，这就是一个孤立系统，有时也简称孤系。
可以设想一个密封的容器，把它放置到宇宙的某一个旯旮，设想这里没有引力波也没有电磁辐射，像中微子这样的微粒也不会光顾，那么，这个容器内封闭的水、空气等就构成了一个绝对意义上的孤立系统，但宇宙中的这样的旯旮严格意义上并不存在。
通常一个系统总会不可避免地受到外界的扰动，比如引力、电磁的干扰就很难消除。因此，对于孤立系统就应当这样来理解，外界的扰动是如此之小，以致系统的能量总是在一个极小的范围内波动，或者这种扰动在我们讨论的问题中可以略去不计，这就是孤立系统。
其次，介绍“热平衡态”。
这是指系统的内部没有出现宏观上的粒子和能量流动的状态，系统内各部分的热学性质不随时间变化，或者说系统的宏观状态不随时间变化。从微观方面看，在热平衡时，分子仍在不停地运动但分子运动的平均效果将不随时间变化，所以这种平衡也称热动平衡。
第三，关于“热平衡原理”。
实验表明，一个孤立系统，不管它原来处于什么状态，经过一段时间以后，它总会自发地趋向平衡态，并保持这个状态不变。这个实验事实被称作“平衡态原理”。
第四，“非平衡态”。
这是指系统内部存在着宏观上有粒子或能量流动的状态。若是在孤立系统中，由于平衡态原理，显然这是个不稳定状态，它会进入平衡态。
介绍了上面这些概念，就为我们回答一个孤立系统中为什么出现“熵增”做好了准备。
02 从物质世界的图景看熵增
宏观世界中出现的现象，物理学家常常是从微观世界中寻找答案，比如压强、温度等物理量，都可以从微观上找到解释，并把微观世界作为去理解宏观现象的物质基础。熵增作为一个宏观现象，能否从微观世界中找到答案呢 ？
为了回答这个问题，先看一下在物理学家眼中微观世界是个什么样子。
通过大量的实验和理论分析，物理学家认为的微观物质世界大致是这样的一种图景：固体是由一层一层排列起来的原子、分子和离子（带电的原子）所构成，而每一个这样的微观粒子在其相对固定的位置周围做着轻微的振荡；液体是由相互碰撞的大量分子所组成，而且这种相互碰撞不仅是随机的，而且是频繁的；气体则由不停地飞舞着的分子所组成的，除了它们相互间发生碰撞，或者与器壁碰撞外，它们都沿直线运动，运动速度快，活动范围广。
正是在这样的物质世界的图景下，奥地利的物理学家玻尔兹曼首先回答了“为什么熵值总在增大”这个问题。
玻尔兹曼是19世纪的非常重要的物理学家，他对热辐射和气体分子运动论有很大的贡献，是经典统计力学的奠基人之一。在我的随笔中多次提到他，下面作简单介绍。
玻尔兹曼（1844--1906）
玻尔兹曼（1844--1906），1866年毕业于维也纳大学获博士学位。他在哲学上是一个唯物论者，认为科学理论的任务就是建立物质世界的图象，并以此作为科学工作全部出发点。他是一位正直、热情、极富情感的人。他笃信原子论，在我写的原子随笔中，爱因斯坦就是根据他的分子运动理论，于1905年，证明了原子的存在。他的原子论遭到了马赫等人的反对，与马赫等人展开了辩论。他似乎比他同时代的科学家更有远见，使得他不能被当时的物理界所理解，加上疾病折磨等原因，刚过花甲之年，就凄凉地用一根绳子结束了自己的生命（见《原子随笔之四》）。
他认为，按克劳修斯的定义，一个系统获得了热量，就出现熵增，这是可以从微观世界里找到原因的。一块物质，若获得了热量，构成它的许多微粒运动就会加剧，每一个粒子运动随机性、不确定性就更加明显。无论是固体结构的排列，液体分子间的相互碰撞，以及气体分子飞舞都会显示了更多的无序或混乱。
这就是一块物质接纳了热量的微观表现，由此，玻尔兹曼认为，克劳修斯提出的熵的增大本质上就是系统中粒子运动的无序（混乱）的增大，而熵就应当是系统一种无序程度的量度，无序程度越高，熵值就越大。因此，对于同一块物质，固体物质中的分子比液体物质中的分子排列有序，固态的熵值要比熔化成液态时的熵值要低；气体分子比液体分子的运动更活跃，液体的熵值比气化后的气体的熵值要低。
按照玻尔兹曼的看法，熵增是系统无序度的增大，那么，系统不仅是因为获得了热量熵才增大，当气体扩散进入到更大的空间里，粒子的位置出现了更多的不确定性，混乱度也增大了，熵值也会增大，而且一切使系统混乱度增大的做法，都会导致系统的熵增。
玻尔兹曼从微观世界看到了熵增的实质，对于熵的认识就深刻得多了。
03 宏观态，微观态
玻尔兹曼看到了熵增的根源是系统无序度（混乱）的增大。然而，摆在他面前问题是什么才是一个热力学系统的无序度呢？又如何去量度或计算一个巨量的热力学系统的无序度呢？这些问题不解决，玻尔兹曼起初对熵增根源的看法，只能看作是一种猜测，至多只能是一种定性的说明，这当然不能成为一个科学的理论。
为了介绍玻尔兹曼是如何解决这些问题的，还要阐明两个概念：“宏观态”与“微观态”。
先说“宏观态”。
用一些通俗的例子来介绍这个概念。
假定在一个氢气球内有N个氢气分子，如果N很大，这就是一个热力学系统。中学物理告诉我们，测量它的压强P、体积V和温度T，这三个热力学参量的一组确定值，就决定了它的一个宏观状态。这种由几个宏观物理量决定系统的状态，就是系统的宏观态。这种宏观的描述方式，对于每个分子运动的细节是“麻木”的，它只是反映了分子运动的平均效应，对于揭示热现象本质就一定存在着缺陷。
什么是“微观态”？
我们仍然用上面的例子。
如果把目光移到氢气球内的每一个分子上，按牛顿理论，若氢气球内的每一个分子，在某一时刻，它们的位置和动量都能确定，就认为系统就有了一个确定的微观态。
至于宏观态与微观态之间的关系是这样的：一个热力学系统，由于P、V、T的不一样，就有了不同的宏观态，而同一个宏观态中，分子可以有不同的分布方式，即可以包含若干个不同的微观态。
为了便于理解这句话，又能较为精确地知晓这句话的含义，下面用一些浅显的例子来作说明。
04 一个宏观态含有多少个微观态
骰子，人们通常把它看作是一个赌具，由此人世间关于它的故事充满了悲与喜，血与泪。伊斯兰教称它为“魔鬼的工具”，而物理、数学中讨论概率时，又觉得它是一个便于大家理解的教具，也是研究概率理想、简单的工具。
常见的一颗合格的骰子，质地均匀，是一个小的立方体，有六个面，每一个面刻上从1到6的点数。投掷这颗骰子，每一个面朝上的几率都是1/6，是一个等几率的相互独立又相互排斥的随机事件，是大家都知道的常识。
人们发现随机事件并非无规则可循，大量随机现象的集合就可能呈规则性的东西，概率论的统计规律就是在这种情况下发现的。
投掷两个骰子，看两个骰子面朝上点数的组合是一个随机事件，是两个朝上面的点数的任意组合，可以构成（6）2 = 36种这种组合，可呈现36种状态。显然，这里每一个态的出现也都是等几率的，都是1/36。
我们可以把这36个状态，看作是由两个骰子、每一个骰子有六个态构成的36个微观态；再把两个骰子的点数之和的组合——共有11种情况，看作是系统的11个宏观态。
这样，每一个宏观态就包含不同的微观态数，可按序排列如下：
第一个宏观态出现2点，只含一个微观态 （1，1）
第二个宏观态出现3点，包含二个微观态 （1，2）（2，1）
第三个宏观态出现4点，包含三个微观态 （1，3）（3，1）（2，2）
第四个宏观态出现5点，包含四个微观态 （1，4）（4，1）（2，3）（3，2）
第五个宏观态出现6点，包含五个微观态 （1，5）（5，1）（2，4）（4，2）（3，3）
第六个宏观态出现7点，包含六个微观态 （1，6）（6，1）（2，5）（5，2）（3，4）（4，3）
第七个宏观态出现8点，包含五个微观态 （2，6）（6，2）（3，5）（5，3）（4，4）
第八个宏观态出现9点，包含四个微观态 （3，6）（6，3）（4，5）（5，4）
第九个宏观态出现10点，包含三个微观态 （4，6）（6，4）（5，5）
第十个宏观态出现11点，包含二个微观态 （5，6）（6，5）
第十一个宏观态出现12点，只含一个微观态（6，6）
按上面的规定，这里共有11个宏观态，每一个宏观态包括数量不等的微观态，出现2点、12点的两个宏观态包含的微观态最少，只有一个，简单、整齐，相对有序；而出现7点的宏观态的包含的微观态最多，共有6个，相比之下，复杂、混乱。
这里36个微观态，每一个态出现的几率都是一样的，但宏观态出现的几率就不一样了，第一与第十一宏观态出现的几率均只有1/36,而第六宏观态出现的几率就是6/36，这个宏观态出现的几率最大，是一个最可能出现的状态，称作“最可几状态”。
这里宏观态的出现呈现了三角形的概率分布，有着深刻的内涵，有必要在这里做一些分析。这种分布是客观存在的，但又是肉眼看不见的，似乎是有一只无形的“上帝之手”在操纵这两个骰子，让这个骰子某个面朝上，又让那个骰子的某个面朝下，构成了这个“Δ”分布格局。
令人惊奇的是这个分布格局的稳定性：它不受时间的制约——无论是过去、现在还是将来；不受地点的限制——无论是在大洋彼岸，还是在中国大陆；不受物质运动规律的的支配——无论是牛顿运动定律还是爱因斯坦的理论，两个骰子构成了这个“Δ”分布格局与这些理论都无关。
更神奇的是，这个概率分布是稳定的，而且它的稳定性并不妨害任一个骰子的那一个面朝上或朝下，每一个骰子在投掷中朝上或朝下都是随机的、自由的，但它却要受到“Δ”分布的制约，无论两个骰子中某个骰子的那个面朝上或朝下，构成的微观态，都是“Δ”概率分布中的一个部分，决不能逃遁这只无形之手的操控。掷骰子的上帝是给了每一个骰子自由——那一面朝上都是随机的，而每一个骰子的自由又被圈定在这个“Δ”围成的框子中。
这倒有点像这样的情况。一个人随着年龄的增长，会关注自己能否健康长寿。对于特定的年龄、性别的人们，可以求得平均年龄的概率分布曲线（相当于上面的“Δ”分布）。对于其中一位幸运的人，良好的遗传、美满的家庭、规律的生活、合理的饮食、适度的锻炼，获得了高寿，过了百岁；对于其中的另一位倒霉的人，却遭遇一次意外事故，命丧黄泉，成了短命鬼，而这两位仍然是属于这条曲线所展示的概率中的一部分。
这还像《西游记》中的孙悟空，他可以拨一撮毫毛，吹口气，幻化出千千万万个美猴王来，其中的无论哪一位，都有七十二般变化，一个筋斗能翻出十万八千里，看起来都是自由的，但他们活动都圈定在如来佛的手掌心里。
在大千世界中大量同类的事物，都要受到概率的支配，一个城市中有多少交通事故，有多少人发作心脏病，有多少人得糖尿病，多少婴儿出生，多少老人死亡，是一位姓张的民工中了彩票，还是一位姓李的明星出了车祸，谁也说不清楚原因，都是那只无形的上帝之手操纵着，而这种个别偶然发生的事件又都是概率分布的一部分。概率决定的世界是那样令人惊奇与神秘，又是那样真实。
上面普及了一下关于概率的一些常识，让我们言归正传，再继续讨论投掷骰子的事情，如果增加骰子的个数，看还能获得那些新的启示。
对于三个骰子，共有（6）3 = 216个微观态，而出现“3点”或出现“18点”的宏观态的几率只有(1/216)，而最可几的宏观态可包括36个微观态；随着骰子数的增大，微观态的数目按指数地增大，但出现一色的“1点”或一色的“6点”的状态，仍只占全部微观态总数中的一个，出现的机会变得越来越小，到9个骰子时，出现的几率只有千万分之一。我算了一下，在这种情况下，如果一个人在昼夜不断地投掷这9个骰子，一秒钟投掷一次，平均在4个月中才可能出现一次9个骰子都出现“·”点的“宏观态”，这个几率实在是太小了，而最可几的宏观态可以包含百万个微观态，出现的几率具有压倒性的优势。
这又在告诉我们，在骰子数越来越多的情况下，有的宏观态出现的可能性很小，因为它包含的微观态的数目占整个微观态的数很小；有的宏观态出现的可能性会很大，因为它包含的微观态数目在总的微观态中占有很大的部分。
上面的例子简单，好理解。下面再讨论稍许复杂一点的情况，看微观态数如何计算，如何构成的不同的宏观态，这个例子较接近于热力学系统的实际情况，这就使我们对一个热力学系统会有较好的理解。
今有6个苹果（相当于分子的能量）分给A、B、C三个人（相当于分子数）这就构成了一个能量与粒子数均守恒的孤立系统。我们来计算这个系统的微观态数，规定每一个人至少要有1个苹果，但不能超过4个苹果，在这种情形下，来计算有几个宏观态，每个宏观态所包含的微观态数又是多少。
第一个宏观态：每一个人2个苹果，即（2，2，2），微观态数只有1个；
第二种宏观态：其中一个人可有4个苹果，而其余的两个人是每人一个苹果，
即（4，1，1）（1，4，1）（1，1，4），微观态数是3个。
第三种宏观态：其中一人是2个苹果，一人是3个苹果，即（1，2，3）（1，3，2）（2，1，3）（2，3，1）（3，2，1）（3，1，2）共有6个微观态。
系统只有三个宏观态，总的微观态的数目是10个，第一个宏观态，只含有一个微观态 ，出现的可能性只有1/10，是最不可几的宏观态；第三种宏观态因为它包含的微观态的数目最大，出现的可能性最大，有6/10，是最可几的分布的宏观态。
如果人数增加到25个（分子数增加），苹果数增加到50个（能量增大），限定每一个人至少要有一个苹果，又最多不能超过6个苹果，此系统的微观态数就可超过1011，这是一个过千亿的大数字，可见系统微观态的数目随着粒子数的增加、能量的增大都会急剧地增加。考虑到常态下一立方厘米就有1019个分子，可以断定，一般情况下容器中的气体构成的微观态的数目将是一个天文数字。对于这样的系统，人们通过计算发现它最不可几的微观态数完全可以略去不计，而最可几分布的宏观态将占有全部微观态数的绝大部分。
05 一个宏观态包含微观态的数目意味着什么
通过上面“掷骰子”、“分苹果”，对所谓宏观态、微观态的讨论和计算。可以得到如下的重要结论：
一个热力学系统中，展示在我们面前的是一个个微观态，它的演化过程是由一个个连续出现的微观态衔接起来的，而每一个微观态出现的几率都一样。由于我们使用的工具和感官上的局限，不可能对每一个粒子进行区别，观测到的只能某个宏观态，是某个微观态所属的那个宏观态。这样，某宏观态如果包含的微观态数目大，这个宏观态出现的机会就大，如果这个宏观态包含了整个微观态的绝大多数，那么，我们能观察到的在绝大多数情形下就是这个宏观态。
有了这个重要结论，我们就可以对一个孤立系统进行定量的分析。
把一个宏观态对应的微观态数记作W，W的大小就表示一个宏观态包含微观态数的多少，这也表示系统在演化过程中，该宏观态出现的几率大小。因此，在热力学理论中，就把W称作是对应的那个宏观态的热力学概率，表示该宏观态出现可能性的大小，通过上面的分析，必然有：W大者，出现的几率就大，相对而言，因为包含着多个微观态，此态较为混乱；W小者，出现的可能性就小，相对而言，因为包含着较少的微观态，此态较为有序。
平衡态原理告诉我们，在孤立系中，系统总是由非平衡态向平衡态的演化，这就是从W小的相对有序宏观状态向W大的相对无序的宏观状态演化，随着时间的延续最后达到W的最大值所属的那个宏观态，这就是系统的平衡态，是系统演化的终点。这事实上就是对实际的自然过程演化方向从微观上给予了定量的说明。
玻尔兹曼说，自然过程沿着分子更加无序的方向进行的，沿着W增大的方向进行的，显然，W大小就应当能作为分子运动无序性的一种量度；玻尔兹曼又说，系统熵的增大是因为系统无序度的增大，既然W表示了系统的无序度，那么，熵与热力学概率这两个概念说的是一回事。
06 一个了不起的公式
玻尔兹曼用统计方法研究热运动，从热力学概率W看到了熵增的本质，约于1887年导出了一个著名的公式
boltzmann equation
这个关系式为熵增作出了定量的微观解释，找出了在孤立系统中熵增的根本原因。式中k 为玻尔兹曼常数，log 为对数符号，后来人们更多地是使用自然对数ln的符号，公式变为S = k ln W。式中W就是该宏观态的热力学概率，就是这个宏观态包含的微观态的数目。这个公式是把熵与某一宏观态所包含的微观态数目直接对应起来。这是把一个宏观量熵（S）与一个微观量热力学概率（W）用一个等式联系了起来。
既然S与W是一回事，两个量划个等号就算了，为什么还要添一个常数，加一个对数呢？这要作一点说明。
对于一个热力学系统，研究对象数量极大，约为10^23的数量级（1mol气体的个数），微观态的数目W也是一个巨量值，而系统的熵值并没有一个客观上存在的确定的大小，为了便于对W这个大数进行处理，所以引入数值上极小的玻尔兹曼常数k（=1.38×10^－23 J/K），它恰好与熵有相同的量纲，然后再对W取对数，因为一个大数，一取对数就变小了。例如10000000取自然对数是16.1，这样系统的熵值S就不是很大，显得合理，也便于与克劳修斯定义熵协调起来，显然，这样的处理方式是完全许可的。
这个公式告诉我们，W小，S就小。当W=1时，S就等于零。这相当于是绝对零度时的晶体，其粒子相对集中、密度较大、有序度极高的状态，系统的熵值为零。随着外界环境的变化，时间的推移，粒子趋于分散，密度越来越小，变得越来越无序。在这里一个宏观状态所包含的微观状态数也越来越大，混乱程度也就越来越大，熵就变大了。
玻尔兹曼的公式是从统计物理的方式得到的，而克劳修斯关于熵的定义是从热力学中得到的。S = k ln W公式就成了连接统计物理与热力学、宏观与微观之间的桥梁。这一公式言简意赅、内涵丰富、思想深邃，可与F = ma、E = mc^2相媲美。这一公式被广泛地应用，不仅是它的简单、明了，主要是与实验结果始终一致。这个公式对于化学、信息学的发展做出了意义深远的贡献。
在历史上，玻尔兹曼对于麦克斯韦1865年提出的电磁理论的方程组赞叹不已，曾引用了德国思想家歌德的具有世界意义的名著《浮士德》中的话“写下这些符号的，难道是一位凡人吗？”加以赞赏。如果把这句话再回赠给他自己建立的这个公式上，看来也是恰当的。
如果熵这个概念仅停留在宏观的热力学范围，停留在克劳修斯原始定义上，是令人难以深入理解的，而且定义给出是一个相对量，如果关于熵的工作做到这里就停顿了，这将是物理学的遗憾。玻尔兹曼提出了这个公式，给出了一个宏观态的熵的绝对值，公式的内涵也很清楚，相比克劳修斯的公式有了很大的进步，是对热学理论的重大贡献。在维也纳的中央墓地，在玻尔兹曼没有墓志铭的墓碑上，镌刻了那个著名的玻尔兹曼关系式，纪念这位永远不会被人类忘记的伟大科学家。
玻尔兹曼没有墓志铭的墓碑
07 从公式可算得系统的走向
我们可以用一个模型替代一个热力学系统，用玻尔兹曼公式来分析气体向真空膨胀的这一过程中，某个宏观态包含微观态数，熵值与微观态数的联系，看一看系统发展的方向和限度。
在这里我愿意引用陈宜生先生等写的《谈谈熵》（湖南教育出版社，1993）这本书里的例子。
有一容器，用一隔板等分为左、右两室。为了更好地描述微观态，我们可以设想在每一室中均有50个大小一样小方格子，这些格子只是一个记号，像画的横竖相间的线条那样，不会影响分子的运动。但每一个格子可以空着，可以允许一个分子呆在里面，这就是说，每一个格子中，要么一个分子也没有，要么只有一个分子。
开始时，假设左室中充满了分子，即每一个小格子里有一个，共50个分子，而右室一个分子也没有。若在隔板上挖一个小孔，由于分子不停地飞舞、运动，左室的分子一定会向右室逐步扩散，右室中的分子就多了起来。在分子数一定的情况下，分子在小格子中的一种分布方式，就是系统的一个微观态，这样就可以计算出在左、右不同分子数目的情况下，根据系统中空间被分子占据的状态计算出对应的熵值。
比如，我们计算这样一种状态，左边有45个分子，右边有5个分子，左边45个分子可分布在50个格子里，如此就可以有C4550种分布方式，右边5个分子可分布在50个小格里，则会有C550种分布方式，整个系统便有C4550 ×C550 种不同空间分布的微观态数，有了这个值我们用公式S = k lnW，算得这个宏观态（左45，右5）对应的微观态的数目，根据公式算得熵值，下表列出了各个宏观态对应的微观态数目和相应的熵值：
这一张表的每一行，对应一个宏观态，这个宏观态包含的微观态的数目，具有的熵值。从此表中可以清楚地看到，两室的分子数相差越大时，离开平衡态越远，宏观态所包含的微观态的数目越小，熵值也小，相对有序；两室分子数相近时，越接近平衡态，宏观态所包含的微观态的数目就越多，熵值就大，越显混乱；当两室数目一样，即每室都是25个分子时，微观态数目最大，熵值也就最大，这就是最可几的状态。
从这张表中看，此系统是从一个包含微观态最少的宏观态——最有序的状态起步的，随着分子不断地向右室的扩散，扩散到右室的分子增多，微观态数目增大，熵值也在不断地增加，直至系统进入最可几的平衡态，可以明显地看到运动的趋势。这就是扩散运动的一个方向和归宿。显然，如果系统再要回到表中所列的第一个宏观态，出现的几率太小了，几乎是不可能出现的状态。
对于由大量分子构成的系统，分子运动的随机性、相互碰撞、向外扩散这些简单的物理原因，就造成了系统出现的概率特征，即系统总是倾向于向分子最无序（最混乱）的状态、熵增大的状态演化，而相反的情形是几乎是不可能出现的。这就像我们在玩扑克的过程中，同花顺（相对有序）出现的可能性很小，大量出现的是一手“乱牌”的原因。
实践告诉我们，任何一个系统，没有麦克斯韦妖之类的外界的干扰，若任其自然演变，混乱度一定是有增无减，熵值一定是在增大。在日常生活中，我们也都有这样的经验，房间整理好了，书架整理好了，这是通过了某个“麦克斯韦妖”的努力，出现了一种低熵而有序的状态，但过了几天，就会出现无序或混乱，因为自然演化的过程中，一只“上帝无形的手”在起作用，总会使系统趋向无序，总会消解任何形式的“麦克斯韦妖”的努力。
08 关于熵两种定义之析
玻尔兹曼对熵增的原因，从微观上作出了合理的解释，并提出了一个关于熵增的定义及计算公式。那么他的这个定义与克劳修斯提出的关于熵的定义对同一个问题的解，得到的结果能一样吗？
理论上可以证明，两种定义、两种计算方法对同一个热现象的过程的分析、计算得到的结果是一样的。这说明宏观定义的热力学的熵，与微观上定义的熵在本质上是完全一致的。
克劳修斯是从宏观的角度发现了在孤立系统的演化过程中，存在一个他称作熵的物理量ΔS = ΔQ/T，总是在不断地增大，他指出了这样一个事实，但没有找到出现熵增的原因。玻尔兹曼是从微观的角度发现了在孤立系统的演化过程中，存在一个称作热力学概率的物理量W，是某个宏观态所包含的微观态的数目，而包含微观态数目大的宏观态出现的概率就大。
按定义，熵S等于 k ln W，因此系统在演化的过程中，从统计的角度来看，因为W大的宏观态出现的概率大，这只“无形的上帝之手”就导致了系统的熵值总是在不断地增大，从而从微观上解释了出现熵增的原因。
克劳修斯发现了这个问题，描绘了这个现象的“外部”特征，而玻尔兹曼解剖了这个现象的“内在”原因，解释了出现这一情况的根源。就这两个定义式而言，前一个式子是克劳修斯提出了热现象“谜面”，后一个式子是玻尔兹曼找到了这个现象的“谜底”。因为谜面与谜底说的是同一件事，因此两个公式虽然样子不同，但本质上是一样的。
无论是克劳修斯还是玻尔兹曼，都揭示了一个孤立系统的一种不可避免的演化的趋势。这使我想到了秋天里的落叶，数量总在不断地增加，显示了一种大自然的趋势。大诗人杜甫有“无边落木萧萧下”的诗句，冷落萧索的秋天里，千树凋谢，万叶飘零，无边无际的落叶，一片片都在与它的母体告别，纷纷扬扬地离开它有生命世界，形象地描述了一种恢宏凄美、又不可避免的大势走向。
熵增原理也在告诉我们，宇宙间始终存在着这样的一种凡人力均不能抗拒大势走向，除非有麦克斯韦妖的显身。
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