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利用直线斜率法求三角函数的最值

利用直线斜率法求三角函数的最值

作者: 天马无空 | 来源:发表于2020-08-03 22:05 被阅读0次
直线斜率法求三角函数的最值

使用情景：函数表达式可化为斜率形式的式子

解题模板：

第一步 先将所给的函数式转化为直线的斜率形式；

第二步 找到直线过的定点和动点，研究动点所在的曲线的轨迹方程.

第三步 结合动点的运动轨迹，求出直线斜率的范围，即函数的取值范围.

例3 求函数y=\dfrac{2-\sin x}{2-\cos x}的最值.

【解析】设A(2,2)，P(\cos x,\sin x)

则k_{PA}=\dfrac{2-\sin x}{2-\cos x}，即k_{PA}为过A,P两点的斜率.

所以要求函数y=\dfrac{2-\sin x}{2-\cos x}的最值，

只要求直线PA的斜率k_{PA}的最值即可.

因为\sin ^2 x+\cos^2 x=1，所以P(\cos x,\sin x)在单位圆上.

因为直线PA的方程为：y=k_{PA}(x-2)-2，

所以直线PA与单位圆相切时，斜率k_{PA}取得最值.

由\dfrac{2-k_{PA}}{\sqrt{1-k_{PA}^2}}=1，解得k_{PA}=\dfrac{4\pm\sqrt{7}}{3}，

所以y=\dfrac{2-\sin x}{2-\cos x}的最大值为\dfrac{4+\sqrt{7}}{3}，最小值为\dfrac{4-\sqrt{7}}{3}.

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