采样定理：所谓采样定理 ，又称香农采样定理，奈奎斯特采样定理，是信息论，特别是通讯与信号处理学科中的一个重要基本结论。采样定理指出，如果信号是带限的，并且采样频率高于信号带宽的两倍，那么，原来的连续信号可以从采样样本中完全重建出来。

离散傅里叶变换（DFT）

离散傅里叶变换(discrete Fourier transform) 傅里叶分析方法是信号分析的最基本方法，傅里叶变换是傅里叶分析的核心，通过它把信号从时间域变换到频率域，进而研究信号的频谱结构和变化规律。但是它的致命缺点是：计算量太大，时间复杂度太高，当采样点数太高的时候，计算缓慢，由此出现了DFT的快速实现，即下面的快速傅里叶变换FFT。

快速傅里叶变换（FFT）

import numpy as np
from scipy.fftpack import fft,ifft
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.pylab import mpl
 
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']   #显示中文
mpl.rcParams['axes.unicode_minus']=False       #显示负号
 
 
#采样点选择1400个，因为设置的信号频率分量最高为600赫兹，根据采样定理知采样频率要大于信号频率2倍，所以这里设置采样频率为1400赫兹（即一秒内有1400个采样点，一样意思的）
x=np.linspace(0,1,1400)      
 
#设置需要采样的信号，频率分量有200，400和600
y=7*np.sin(2*np.pi*200*x) + 5*np.sin(2*np.pi*400*x)+3*np.sin(2*np.pi*600*x)

plt.figure()
plt.plot(x[0:50],y[0:50])   
plt.title('原始部分波形（前50组样本）')
plt.show()

这里原始信号的三个正弦波的频率分别为，200Hz、400Hz、600Hz,最大频率为600赫兹。根据采样定理，fs至少是600赫兹的2倍，这里选择1400赫兹，即在一秒内选择1400个点。

fft_y=fft(y)                          #快速傅里叶变换
print(len(fft_y))
print(fft_y[0:5])

1400
[-4.18864943e-12+0.j 9.66210986e-05-0.04305756j 3.86508070e-04-0.08611996j
8.69732036e-04-0.12919206j 1.54641157e-03-0.17227871j]

换之后的结果数据长度和原始采样信号是一样的

每一个变换之后的值是一个复数，为a+bj的形式下标为0和 N /2的两个复数的虚数部分为0，下标为i和 N - i 的两个复数共辄，也就是其虚部数值相同、符号相反。再用ifft()从频域转回时域之后，出现了由误差引起的很小的虚部，用np.real()取其实部即可．
 由于一半是另一半的共轭，因此只需要关心一半数据．fft转换后下标为0的实数表示时域信号中的直流成分（不随时间变化）

N=1400
x = np.arange(N)           # 频率个数
 
abs_y=np.abs(fft_y)                # 取复数的绝对值，即复数的模(双边频谱)
angle_y=np.angle(fft_y)              #取复数的角度
 
plt.figure()
plt.plot(x,abs_y)   
plt.title('双边振幅谱（未归一化）')
 
plt.figure()
plt.plot(x,angle_y)   
plt.title('双边相位谱（未归一化）')
plt.show()

振幅谱的纵坐标很大，而且具有对称性
Y=A1+A2cos(2πω2+φ2）+A3cos(2πω3+φ3）+A4*cos(2πω4+φ4）

经过FFT之后，得到的“振幅图”中，
第一个峰值（频率位置）的模是A1的N倍，N为采样点，本例中为N=1400，此例中没有，因为信号没有常数项A1
第二个峰值（频率位置）的模是A2的N/2倍，N为采样点，
第三个峰值（频率位置）的模是A3的N/2倍，N为采样点，
第四个峰值（频率位置）的模是A4的N/2倍，N为采样点，

# 将振幅谱进行归一化和取半处理
normalization_y=abs_y/N            #归一化处理（双边频谱）
plt.figure()
plt.plot(x,normalization_y,'g')
plt.title('双边频谱(归一化)',fontsize=9,color='green')
plt.show()
half_x = x[range(int(N/2))]                                  #取一半区间
normalization_half_y = normalization_y[range(int(N/2))]      #由于对称性，只取一半区间（单边频谱）
plt.figure()
plt.plot(half_x,normalization_half_y,'b')
plt.title('单边频谱(归一化)',fontsize=9,color='blue')
plt.show()

STFT（短时傅里叶变换）

STFT短时傅里叶变换，实际上是对一系列加窗数据做FFT。有的地方也会提到DCT（离散傅里叶变换），而DCT跟FFT的关系就是：FFT是实现DCT的一种快速算法。

FFT有个参数N，表示对多少个点做FFT，如果一帧里面的点的个数小于N就会zero-padding到N的长度。每个点对应一个频率点，某一点n（n从1开始）表示的频率为:

第一个点（n=1，Fn等于0）表示直流信号，最后一个点N的下一个点（实际上这个点是不存在的）表示采样频率Fs。

FFT后我们可以得到N个频点，比如，采样频率为16000，N为1600，那么FFT后就会得到1600个点，FFT得到的1600个值的模可以表示1600个频点对应的振幅。因为FFT具有对称性，当N为偶数时取N/2+1个点，当N为奇数时，取(N+1)/2个点，比如N为512时最后会得到257个值。
scipy.signal.stft（x，fs = 1.0，window =‘hann’，nperseg = 256，noverlap = None，nfft = None，detrend = False，return_oneside = True，boundary =‘zeros’，padded = True，axis = -1 ）

• x： STFT变换的时域信号
• fs： 时域信号的采样频率
• window： 时域信号分割需要的窗函数，可以自定义窗函数,常见的窗函数有boxcar、triang、blackman、hamming等
• nperseg： 窗函数长度
• noverlap： 窗函数重叠数，默认为50%。
• nfft： FFT的长度，默认为nperseg。如大于nperseg会自动进行零填充
• return_oneside ： True返回复数实部，None返回复数。

f, t, Zxx = scipy.signal.stft（x，fs=1.0，window='hann'，
        nperseg=256，noverlap=None，nfft=None，
        detrend=False，return_onesid =True， 
        boundary='zeros'，padded=True，axis=-1 ）

• f: 频率
• t： 时间
• Zxx： STFT时频数据