刚体运动学（8）：科里奥利效应

作者: 有限与微小的面包 | 来源:发表于2020-02-20 21:59 被阅读0次

在刚体运动学（7）中，我们从刚体微小角度转动出发，推导了算符方程

$\left(\frac{d} {dt}\right)_{s} = \left(\frac{d} {dt}\right)_{b} + \boldsymbol{\omega} \times\\$

它常常被人用来研究质点或质点系相对旋转参考系的运动，其中最重要的一类问题要属粒子在相对地球参考系的运动。

$\bullet$ 通常，一个位于正在自转的地球上的参考系可以被近似地视为惯性系，但当我们需要研究地球以外质点的运动时，一个相对最近恒星（太阳）静止的参考系才是更理想的参考系。

相对地面参考系，一个质点的位置可由位矢 $\mathbf{r}$ 表示，代入算符方程后有

$\mathbf{v}_s = \mathbf{v}_r + \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}\\$

其中 $\mathbf{v}_s$ 是质点相对惯性参考系的速度， $\mathbf{v}_r$ 是质点相对转动参考系的速度， $\boldsymbol{\omega}$ 是地球相对惯性参考系的恒定角速度。

若要得到加速度，将 $\mathbf{v}_s$ 再次代入算符方程

$\begin{align*}\left(\frac{d\mathbf{v}_s} {dt}\right)_s = \mathbf{a}_s &= \left(\frac{d\mathbf{v}_s}{dt}\right)_r + \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}_s \\&= \mathbf{a}_r + \left.\frac{d}{dt}\right|_r (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}) + \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}_r + \boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})\\&= \mathbf{a}_r + 2(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}_r) + \boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})\end{align*}\\$

根据牛顿运动方程

$\mathbf{F} = m\mathbf{a}_s\\$

$\implies \mathbf{F} - 2m(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}_r) - m\boldsymbol{\omega}\times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}) = m\mathbf{a}_r \\$

可见，对于位于转动参考系的观测者而言，质点在等效力 $\mathbf{F}_{\text{eff}}$ 的作用下运动与位于惯性参考系观测者观察到的运动情况不同。

等效力中的最后一项 $-m\boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})$ 是离心力（centrifugal force），第二项 $-2m(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}_r)$ 是科里奥利力（Coriolis force）。

$\bullet$ 我们在地球表面实际测量到的重力效应的一部分来自于地球质量分布产生的引力场，而另一部分则是来自于离心加速度。所以为了与地球的引力场（gravitational field）区分开，我们通常将二者的合效应场称为地球的重力场（gravity field）。由于重力场与引力场的等势面不相同，于是离心加速度对地球产生形变作用，将其变向两边拉扯为了一个椭球体。地球的平均海拔与平衡状态的椭球体模型基本吻合，我们将这一海拔定义为大地水准面（geoid）。

$\bullet$ 在地球表面，科里奥利力的主要效果体现在偏斜抛射物的运动方向。使用右手螺旋定则，不难得到，在北半球，角速度 $\boldsymbol{\omega}$ 指出地面，抛射物的会被向右偏斜；在南半球，角速度 $\boldsymbol{\omega}$ 指入地面，抛射物会被向左偏斜；在沿赤道附近，由于角速度 $\boldsymbol{\omega}$ 与地面平行，科里奥利力为零。

$\bullet$ 科里奥利效应在海洋学与气象学中有重要意义，常常出现于信风与湾流等气象研究中。

由于竖直方向的气团在重力作用下基本保持平衡，气团主要沿水平方向运动。气象学中一个最简化的研究模型就是大规模水平风循环：气团在气压梯度下从高压地带运动至低压地带。我们将进行这类运动的气团称为气压梯度流（pressure-gradient flow）。

信风在北半球受到科里奥利力时的偏斜情况

如图，气压梯度通常垂直于等压线，从高压地带指向低压地带，空气团顺着气压梯度的方向运动。

在北半球，运动速度则会朝右偏斜，直到速度方向平行于等压线，科里奥利力消失，绕着低压地带进行循环，便形成了地转风带。

$\bullet$ 傅科摆（Foucault pendulum）同样为科里奥利效应的存在提供了实验支持。

$\bullet$ 在原子物理中，多原子高分子间也存在着科里奥利效应，主要因分子间的转动和振动的相互作用产生。

刚体运动学（8）：科里奥利效应

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