什么是跳表？

跳表是一个随机化的数据结构，实质就是一种可以进行二分查找的有序链表。
跳表在原有的有序链表上面增加了多级索引，通过索引来实现快速查找。
跳表不仅能提高搜索性能，同时也可以提高插入和删除操作的性能。

跳表

有序链表

image.png

考虑一个有序链表，我们要查找3、7、17这几个元素，我们只能从头开始遍历链表，直到查找到元素为止。
上述这个链表是有序的，但是不能使用二分查找，是不是很捉急？（P.S.数组可以实现二分查找）
那么，有没有什么方法可以实现有序链表的二分查找呢？
答案是肯定的，那就是我们将要介绍的这种数据结构——跳表。

跳表的演进

我们把一些节点从有序表中提取出来，缓存一级索引，就组成了下面这样的结构：

image.png

现在，我们要查找17这个元素是不是要快很多呢？
我们只要从一级索引往后遍历即可，只需要经过1、6、15、17这几个元素就可以找到17了。
那么，我们要查找11这个元素呢？
我们从一级索引的1开始，向右到6，再向右发现是15，它比11大，此路不通，从6往下走，再从下面的6往右走，到7，再到11。
同样地，一级索引也可以往上再提取一层，组成二级索引，如下：

image.png

这时候我们再查找17这个元素呢？
只需要经过6、15、17这几个元素就可以找到17了。
这基本上就是跳表的核心思想了，其实这也是一个“空间换时间”的算法，通过向上提取索引增加了查找的效率。

跳表的插入

上面讲的都是跳表的查询，那么，该如何向跳表中插入元素呢？
比如，我们要向上面这个跳表添加一个元素8。
首先，我们先根据投硬币的方式，决定8这个元素要占据的层数，没错就是扔硬币，是不是很好玩儿^^
比如，层数level=2。
然后，找到8这个元素在下面两层的前置节点。
接着，就是链表的插入元素操作了，比较简单。
最后，就像下面这样：

image.png

跳表的删除

查询、插入元素都讲了，下面我们就来说说怎么删除元素。
首先，找到各层中包含元素x的节点。
然后，使用标准的链表删除元素的方法删除即可。
比如，要删除17这个元素。

image.png

标准化的跳表

上面举的例子是完全随机的跳表，那么，如果我们每两个元素提取一个元素作为上一级的索引会怎么样呢？

image.png

这是不是很像平衡二叉树，现在这颗树元素比较少，可能不太明显，我们来看个元素个数多的情况。

image.png

可以看到，上一级元素的个数是下一级的一半，这样每次减少一半，就很接近平衡二叉树了。

时间复杂度

我们知道单链表查询的时间复杂度为O(n)，而插入、删除操作需要先找到对应的位置，所以插入、删除的时间复杂度也是O(n)。

那么，跳表的时间复杂度是多少呢？

如果按照标准的跳表来看的话，每一级索引减少k/2个元素（k为其下面一级索引的个数），那么整个跳表的高度就是(log n)。

学习过平衡二叉树的同学都知道，它的时间复杂度与树的高度成正比，即O(log n)。

所以，这里跳表的时间复杂度也是O(log n)。（这里不一步步推倒了，只要记住，查询时每次减少一半的元素的时间复杂度都是O(log n)，比如二叉树的查找、二分法查找、归并排序、快速排序）

空间复杂度

我们还是以标准的跳表来分析，每两个元素向上提取一个元素，那么，最后额外需要的空间就是：
n/2 + (n/2)^2 + (n/2)^3 + ... + 8 + 4 + 2 = n - 2
所以，跳表的空间复杂度是O(n)。

总结

（1）跳表是可以实现二分查找的有序链表；
（2）每个元素插入时随机生成它的level；
（3）最低层包含所有的元素；
（4）如果一个元素出现在level(x)，那么它肯定出现在x以下的level中；
（5）每个索引节点包含两个指针，一个向下，一个向右；
（6）跳表查询、插入、删除的时间复杂度为O(log n)，与平衡二叉树接近；

拓展

为什么Redis选择使用跳表而不是红黑树来实现有序集合？
首先，我们来分析下Redis的有序集合支持的操作：

1）插入元素
2）删除元素
3）查找元素
4）有序输出所有元素
5）查找区间内所有元素
其中，前4项红黑树都可以完成，且时间复杂度与跳表一致。
但是，最后一项，红黑树的效率就没有跳表高了。
在跳表中，要查找区间的元素，我们只要定位到两个区间端点在最低层级的位置，然后按顺序遍历元素就可以了，非常高效。
而红黑树只能定位到端点后，再从首位置开始每次都要查找后继节点，相对来说是比较耗时的。
此外，跳表实现起来很容易且易读，红黑树实现起来相对困难，所以Redis选择使用跳表来实现有序集合。