《OpenCV轻松入门：面向Python》读书笔记
作者：李立宗
出版社：电子工业出版社
出版时间：2019-05

第14章 傅里叶变换

  图像处理一般分为

• 空间域处理
  空间域处理是直接对图像内的像素进行处理。
  空间域处理主要划分为灰度变换和空间滤波两种形式。
  灰度变换是对图像内的单个像素进行处理，比如调节对比度和处理阈值等。
  空间滤波涉及图像质量的改变，例如图像平滑处理。
  空间域处理的计算简单方便，运算速度更快。
• 频率域处理。
  频率域处理是先将图像变换到频率域，然后在频率域对图像进行处理，最后再通过反变换将图像从频率域变换到空间域。
  傅里叶变换是应用最广泛的一种频域变换，它能够将图像从空间域变换到频率域，而逆傅里叶变换能够将频率域信息变换到空间域内。
  傅里叶变换在图像处理领域内有着非常重要的作用。

14.1 理论基础

1）实例

• 配方表格
  表14-1所示的是某饮料的配方，该配方是一个以时间形式表示的表格，表格很长，这里仅仅截取了其中的一部分内容。该表中记录了从时刻“00:00”开始到某个特定时间“00:11”内的操作。

  
  表14-1 饮料配方

• 分析
  仔细分析该表格可以发现，该配方：
  ● 每隔1分钟放1块冰糖。
  ● 每隔2分钟放3粒红豆。
  ● 每隔3分钟放2粒绿豆。
  ● 每隔4分钟放4块西红柿。
  ● 每隔5分钟放1杯纯净水。

• 配方的时域图
  在数据的处理过程中，经常使用图表的形式表述信息。如果从时域的角度，该配方表可以表示为图14-1。图14-1仅仅展示了配方的前11分钟的操作，如果要完整地表示配方的操作，必须用图表绘制出全部时间内的操作步骤。
  

  图14-1 配方的时域图

• 配方的频域图
  如果从频率（周期）的角度表示，这个配方表可以表示为图14-2，图中横坐标是周期（频率的倒数），纵坐标是配料的份数。可以看到，图14-2可以完整地表示该配方的操作过程。
  

  图14-2 配方的频域图

2）函数

  对于函数，同样可以将其从时域变换到频域。

• 时域图
  图14-3是一个频率为5（1秒内5个周期）、振幅为1的正弦曲线。

  
  图14-3 正弦曲线

• 频域图
  如果从频率的角度考虑，则可以将其绘制为图14-4所示的频域图，图中横坐标是频率，纵坐标是振幅。

  
  图14-4 正弦函数的频域图

图14-3与图14-4是等价的，它们是同一个函数的不同表示形式。可以通过频域表示得到对应的时域表示，也可以通过时域表示得到对应的频域表示。

3）傅里叶变换

法国数学家傅里叶指出，任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦函数和的形式。

4）变换的具体过程

下面我们来看傅里叶变换的具体过程。

• 时域图
  例如，周期函数的曲线如图14-5左上角的图所示。该周期函数可以表示为：
  

  图14-5 函数曲线
  y=3*np.sin(0.8*x) + 7*np.sin(0.5*x) + 2*np.sin(0.2*x)
  因此，该函数可以看成是由下列三个函数的和构成的：
  ● y1=3*np.sin(0.8*x)（函数1）
  ● y2=7*np.sin(0.5*x)（函数2）
  ● y3=2*np.sin(0.2*x)（函数3）
  上述三个函数对应的函数曲线分别如图14-5中右上角、左下角及右下角的图所示。

• 频域图
  如果从频域的角度考虑，上述三个正弦函数可以分别表示为图14-6中的三根柱子，图中横坐标是频率，纵坐标是振幅。

  
  图14-6 函数的频域图

  通过以上分析可知，图14-5中左上角的函数曲线可以表示为图14-6所示的频域图。
  从图14-5左上角的时域函数图形，构造出如图14-6所示的频域图形的过程，就是傅里叶变换。
  傅里叶变换就是从频域的角度完整地表述时域信息。

5）相差

  除了频率和振幅外，还要考虑时间差的问题。
  例如，饮料配方为了控制风味，需要严格控制加入配料的时间。
  如果加入配料的时间发生了变化，饮料的风味就会发生变化。所以，在实际处理过程中，还要考虑时间差。这个时间差，在傅里叶变换里就是相位。相位表述的是与时间差相关的信息。
  相差也是傅里叶变换中非常重要的条件。

6）图像处理过程中的傅里叶变换

  在图像处理过程中，傅里叶变换就是将图像分解为正弦分量和余弦分量两部分，即将图像从空间域转换到频率域（以下简称频域）。

• 数字图像经过傅里叶变换后，得到的频域值是复数。
• 因此，显示傅里叶变换的结果需要使用实数图像（realimage）加虚数图像（complex image），
• 或者幅度图像（magnitude image）加相位图像（phase image）的形式。

7）幅度图像

  因为幅度图像包含了原图像中我们所需要的大部分信息，所以在图像处理过程中，通常仅使用幅度图像。
  当然，如果希望先在频域内对图像进行处理，再通过逆傅里叶变换得到修改后的空域图像，就必须同时保留幅度图像和相位图像。

8）低频和高频信息

  对图像进行傅里叶变换后，我们会得到图像中的低频和高频信息。

• 低频信息对应图像内变化缓慢的灰度分量。
• 高频信息对应图像内变化越来越快的灰度分量，是由灰度的尖锐过渡造成的。
  例如，在一幅大草原的图像中有一头狮子，低频信息就对应着广袤的颜色趋于一致的草原等细节信息，而高频信息则对应着狮子的轮廓等各种边缘及噪声信息。

9）傅里叶变换的目的

  傅里叶变换的目的，就是为了将图像从空域转换到频域，并在频域内实现对图像内特定对象的处理，然后再对经过处理的频域图像进行逆傅里叶变换得到空域图像。
  傅里叶变换在图像处理领域发挥着非常关键的作用，可以实现图像增强、图像去噪、边缘检测、特征提取、图像压缩和加密等。